四足机器人 1.稳定性标准

1.1 静态稳定性标准

步行机器人稳定:
如果步行机器人其重心(COG)的水平投影位置在由所有支撑足构成的支撑多边形内部，则步行机器人是静态稳定的。

稳定裕度(SSMS_{SM}SSM)(McGhee&Frank)

从COG投影到支撑多边形的最短距离

->稳定裕度短->机器人接近不稳定

纵向稳定裕度(SLSMS_{LSM}SLSM)(Zhang&Song)
在机器人纵轴方向，从COG到支撑多边形边界的最短距离。

考虑到COG高度以及运动学和动力学参数，引入:

能量稳定裕度(SESMS_{ESM}SESM)(Messuri)
SESM=min(mghi)hi=∣Ri∣(1−cosθ)cosψS_{ESM} = min(mgh_i)\\ h_i = |R_i|(1-cos\theta)cos\psi SESM=min(mghi)hi=∣Ri∣(1−cosθ)cosψ
i—支撑多边形作为旋转轴的分段

hih_ihi—翻滚时COG高度的变化

RiR_iRi—从COG到旋转轴的矢量

θ\thetaθ—RiR_iRi与垂直平面形成的角度

ψ\psiψ—相对于水平面旋转的倾斜角

归一化能量稳定裕度(SNESMS_{NESM}SNESM)（Hirose）
SNESM=SESMmg=min(mghi)S_{NESM}=\frac{S_{ESM}}{mg}=min(mgh_i) SNESM=mgSESM=min(mghi)

1.2 动态稳定性标准

动态稳定裕度(SZMPS_{ZMP}SZMP)(Orin)

COP距支撑多边形边缘的最小距离。

压力中心(COP)

对于动态稳定的机器人，作用在COG上的力，沿着COG点合力方向的投影位于支撑多边形内的则稳定

有效质量中心(EMC)为支撑平面上的点，此点处由地面反力引起的力和力矩均为零。

动态稳定裕度(SDSMS_{DSM}SDSM)(Lin&Song)

COG点的动态平衡满足
FI=FS+FG+FMMI=MS+MG+MMF_I = F_S + F_G + F_M\\ M_I = M_S + M_G + M_M FI=FS+FG+FMMI=MS+MG+MM
其中I、S、G、M分别表示惯性、支撑、重力和操纵影响。
SDSM=min(Mimg)=min[ei(FR×Pi+MR)mg]S_{DSM}=min(\frac{M_i}{mg})=min[\frac{e_i(F_R\times P_i+M_R)}{mg}] SDSM=min(mgMi)=min[mgei(FR×Pi+MR)]
其中PiP_iPi—从COG到第i支撑足的位置矢量

eie_iei—以顺时针方向绕支撑多边形的单位矢量

翻滚稳定裕度(STSMS_{TSM}STSM)(Yoneda&Hirose)
STSM=min(∣Mi‘∣mg)S_{TSM} = min(\frac{|M_i^`|}{mg}) STSM=min(mg∣Mi‘∣)
力一角稳定标准SFASMS_{FASM}SFASM(Papadopoulos&Rey)
SFASM=min(αi)∣∣FR∣∣S_{FASM} = min(\alpha_i)||F_R|| SFASM=min(αi)∣∣FR∣∣

归一化动态能量稳定裕度SNDESMS_{NDESM}SNDESM(Ghasempoor&Sepehri)
SNDESM=min(Ei)mgS_{NDESM} = \frac{min(E_i)}{mg} SNDESM=mgmin(Ei)

其中EiE_iEi表示支撑多边形的第i侧的稳定性度量，即绕机器人支撑多边形翻滚的第i侧所需的机械能增量
Ei=mg∣R∣(cosϕ−cosφ)cosψ+(FRI⋅t)∣R∣θ+(MR⋅ei)θ−1/2Iiωi2E_i = mg|R|(cos\phi-cos\varphi)cos\psi+(F_{RI}\cdot t)|R|\theta+(M_R\cdot e_i)\theta-1/2I_i\omega^2_i Ei=mg∣R∣(cosϕ−cosφ)cosψ+(FRI⋅t)∣R∣θ+(MR⋅ei)θ−1/2Iiωi2
R—指向COG位置与支撑多边形的第i侧垂直的正交矢量

FRIF_{RI}FRI—合力的非重力分量/地面作用力FRF_RFR

IiI_iIi—绕旋转轴i的惯性力矩

ωi\omega_iωi—COG的角速度

ψ\psiψ—支撑多边形的第i侧的倾斜角度

φ\varphiφ—在垂直平面内定位COG所需的旋转角度

ϕ\phiϕ—COG从垂直平面旋转到临界平面的角度，其中作用在COG全国合力消失

θ\thetaθ—两个旋转的相加

1.3 稳定裕度的比较

直接给实验结论了

不平坦地形	机器人动力	操纵动力	SSMS_{SM}SSM	SNESMS_{NESM}SNESM	SDSMS_{DSM}SDSM	STSMS_{TSM}STSM	SFASMS_{FASM}SFASM	SZMPS_{ZMP}SZMP	SNDESMS_{NDESM}SNDESM
否	否	否	√\surd√	*	√\surd√	√\surd√	*	√\surd√	*
否	是	否	×\times×	×\times×	√\surd√	√\surd√	*	√\surd√	*
否	是	是	×\times×	×\times×	√\surd√	√\surd√	√\surd√	√\surd√	*
是	否	否	√\surd√	*	√\surd√	√\surd√	√\surd√	√\surd√	*
是	是	否	×\times×	×\times×	√\surd√	√\surd√	√\surd√	√\surd√	*
是	是	是	×\times×	×\times×	√\surd√	√\surd√	√\surd√	√\surd√	*

稳定裕度分类表 √\surd√ : 有效 ×\times×: 无效 * : 最合适

运算类型	SSMS_{SM}SSM	SNESMS_{NESM}SNESM	SDSMS_{DSM}SDSM	STSMS_{TSM}STSM	SFASMS_{FASM}SFASM	SZMPS_{ZMP}SZMP	SNDESMS_{NDESM}SNDESM
加法	17n	33n	44n	86n	109n	67n	60n
乘积	13n	23n	39n	90n	117n	70n	57n
三角函数	—	—	—	—	3n	—	3n
平方根	n	2n	2n	3n	6n	2n	3n

现有稳定性标准的计算复杂度

1.4 总结

SSMS_{SM}SSM和SNESMS_{NESM}SNESM仅适用于无动力，SNESMS_{NESM}SNESM最优

SNDESMS_{NDESM}SNDESM适合最广且优