二叉搜索树（BST)和平衡二叉树（AVL树）的概念与理解

树的典型应用

二叉搜索树

静态查找：所查找集合的元素时不动的，在一个集合上主要做的便是find操作，而没有delete一个映射的操作

方法：二分查找，将要查找的数据事先的有序化

动态查找：所查找对象会发生变化，经常要发生插入，删除操作

书上的任意的一个结点他的值比左子树的值都要来的大，比右子树的值都要小，查找过程便成为了对当前结点的判断。

二叉搜索树（BST)—二叉排序树/二叉查找树

一颗二叉树，可以为空，如果不为空需满足
- 非空左子树的所有键值小于其根结点的键值
- 非空右子树的所有键值大于其根结点的键值
- 左，右子树都是二叉搜索树

操作函数

Position Find(elementtype x,bintree bst):从二叉搜索树BST中查找元素X,返回其所在结点的地址
Position Findmin(bintree bst):从二叉搜索树BST中查找并返回最小元素所在结点的地址
Position Findmax(bintree bst):从二叉搜索树BST中查找并返回最大元素所在结点的地址
bintree insert(elementtype x,bintree bst),插入
bintree delete(elementtype x,bintree bst),删除

查找操作

查找从根结点开始，如果树为空，返回NULL;
若搜索树非空，则根结点关键字和X进行比较，并进行不同处理
- 若X小于根结点键值，只需在左子树中继续搜索
- 若X大于根节点的键值，在右子树中进行继续搜索
- 若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针

//尾递归
bintree find(ELementtype x, bintree bst)
{if (!bst)return NULL;//查找从根结点开始，如果树为空，返回NULL;if (x > bst->data){return find(x, bst->right);//若X大于根节点的键值，在右子树中进行继续搜索}if (x < bst->data){return find(x, bst->left);//若X小于根结点键值，只需在左子树中继续搜索}elsereturn bst;//若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针
}

由于非递归函数的执行效率高，可将尾递归函数改为迭代函数

//递归实现版
bintree iterfind(ELementtype x, bintree bst)
{while (bst){if (x > bst->data){bst=bst->right;//若X大于根节点的键值，在右子树中进行继续搜索}if (x < bst->data){bst = bst->left;//若X小于根结点键值，只需在左子树中继续搜索}elsereturn bst;//若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针}return NULL;//查找从根结点开始，如果树为空，返回NULL;
}

查找的效率决定于树的高度

查找最大和最小元素

最大元素一定是在树的最右分支的端结点上
最小元素一定是在树的最左分支的端结点上

//递归
bintree findmin(bintree bst)
{if (!bst)return NULL;else if (!bst->left)return bst;//一直查找有没有左节点，左结点如果没有代表就是最小结点所在的位置elsereturn findmin(bst->left);
}//循环
bintree findmax(bintree bst)
{if (bst){while (bst->right){bst = bst->right;}}return bst;
}

二叉搜索树插入

分析：关键是要找到元素应该插入的位置

bintree insert(ELementtype x, bintree bst)
{//若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树if (!bst){bst =(bintree)malloc(sizeof(struct treenode));bst->data = x;bst->left = bst->right = NULL;}else {//开始查找要插入元素的位置if (x < bst->data){bst->left = insert(x, bst->left);}else if (x > bst->data){bst->right = insert(x, bst->right);}//当找到了便将x赋给新建的空结点中}return bst;
}

二叉搜索树的删除

要删除的是叶结点，直接删除，再修改其父结点指针，置为NULL
要删除的结点只有一个孩子结点：将其父结点的指针指向要删除结点的孩子结点
要删除的结点有左右两颗子树，用另一结点替代被删除结点，右子树的最小元素或则左子树的最大元素，原因，无论左子树的最小值或者右子树的最小值一定不会有两个结点

bintree deletetree(ELementtype x, bintree bst)
{bintree tmp;if (!bst){cout << "we can`t finf the num" << endl;}else if (x > bst->data){bst->right = deletetree(x, bst->right);//左子树递归删除}else if (x < bst->data){bst->left = deletetree(x, bst->left);//右子树递归删除}else{if (bst->left && bst->right)//左右两边都不空{tmp = findmin(bst->right);//找到右子树的最小值进行替代bst->data = tmp->data;bst->right = deletetree(bst->data, bst->right);}else{//被删除结点有一个或无子结点tmp = bst;if (!bst->left)//有右子树或无子结点{bst = bst->right;}else if (!bst->right)//有左子树或无子结点{bst = bst->right;}free(tmp);}}return bst;
}

平衡二叉树

搜索树结点的不同插入次序，会导致不同的深度和平均查找长度ASL不同

左右两边结点数差不多，左右两边的高度差不多

平衡因子（BF）,BF（T）=hL-hR
hL，hR分别是T的左右子树的高度

平衡二叉树（AVL树）

任一结点的左右子树高度差的绝对值不超过1，即|BF（T）|<=1

高度为h的最小结点数=高度为h-1时最小结点数+高度为h-2时最小结点数+1

类似于斐波那契数列，nh=f(h+2)-1

给定结点数为n的AVL树的最大高度为O(log2(n))

平衡二叉树的调整

右旋

无论如何调整，都必须保证搜索树的框架能够成立

RR旋转，RR插入，右单旋

LL旋转，LL插入，左单旋

LR旋转，LR插入，左右旋转

RL旋转，RL插入

怎么判别：便是看插入结点把谁给破坏了

小白专场

题目：判断是否为同一颗二叉搜索树

给定一个插入序列可以唯一确定一颗二叉搜索树，然而一颗给定的二叉搜索树可以由多种不同的插入序列得到

对于输入的各种个插入序列，需要判断他们是否可以生成一样的二叉搜索树

求解思路

分别建两颗搜索树的判别方法
不建树的判别方法
建一颗树，再判别其他序列是否与该树一致
- 搜索树表示
- 建搜索树T
- 判别一序列是否与搜索树T一致

程序框架搭建

主函数

读取N和L
根据第一行序列建树T
依据树T分别判别后面的L个序列是否能与T形成同一搜索树并输出结果
主要建立两个函数，读入数据建立搜索树T,判别序列是否与T构成一样的搜索树

判别方法

如何判别序列与树t是否一致

方法：再树t中顺序搜索序列中的每个数

若每次搜索所经过的结点再前面均出现过，则一致
否则（某次搜索中遇到前面你未出现过的结点），则不一致

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<iostream>using namespace std;typedef struct Treenode* tree;//建立搜索树
struct Treenode
{int v;tree left, right;int flag;//用来判别一个序列是不是与树一致，作为结点有无被访问过的标记
};int main()
{int N,L,i;tree T;cin >> N;while (N){cin >> L;T = maketree(N);for (i = 0; i < L; i++){if (judge(T,N)){cout << "yes" << endl;}else{cout << "no" << endl;}resetT(T);//清除T中的标记flag}freetree(T);cin >> N;}return 0;}tree maketree(int n)
{tree t;int i, v;cin >> v;t = newnode(v);for (i = 1; i < n; i++){cin >> v;t = insert(t, v);}return t;
}tree newnode(int v)
{tree t = (tree)malloc(sizeof(struct Treenode));t->v = v;t->left = t->right = NULL;t->flag = 0;return t;
}tree insert(tree t, int v)
{if (!t)t = newnode(v);else {if (v > t->v){t->right = insert(t->right, v);}elset->left = insert(t->left, v);}return t;
}int check(tree t, int v)
{if (t->flag){if (v < t->v)return check(t->left, v);else if (v > t->v)return check(t->right, v);elsereturn 0;}else{if (v == t->v){t->flag = 1;return 1;}elsereturn 0;}
}//当发现序列中的某个数与T不一致时，必须把该序列后面的数全部都读完
int judge(tree t, int n)
{int i, v,flag = 0;//flag=0,代表目前还是一致的，1代表已经不一致了cin >> v;if (v != t->v)flag = 1;elset->flag = 1;for (i = 1; i < n; i++){cin >> v;if (!flag && !check(t, v))flag = 1;}if (flag)return 0;elsereturn 0;
}void resetT(tree t)//清除t中的每个结点的flag标记
{if (t->left)resetT(t->left);if (t->right)resetT(t->right);t->flag = 0;
}void freetree(tree t)//释放结点
{if (t->left)freetree(t->left);if (t->right)freetree(t->right);free(t);
}