Barra风险因子模型如何衡量风险简易详细版解释

由于之前只系统学过fama french因子模型，对barra因子了解甚少。最近在网上看了很多关于barra因子的介绍，感觉很多讲解有一些复杂，就根据自己的理解来总结了一份非常详细又易于理解，从barra诞生的意义开始的文章。

文章目录

1. 从马克维茨到barra因子
2. Barra因子收益率
3. Barra协方差矩阵
4. 其他值得注意的事情
- 4.1回归截距项与国家因子
- 4.2 求因子收益率的约束
- 4.3 因子数据滞后

1. 从马克维茨到barra因子

在马科维茨理论中，我们用投资组合的波动率来衡量投资组合的风险，计算投资组合波动率又需要资产间相关矩阵。马科维茨要解决的优化问题如下，换句话说我们是要最小化投资风险：
m i n ω T C ω s . t . ∑ i ω i = 1 μ T ω > ρ ω 1 , ω 2 , . . . ω n > 0 min\pmb{\omega}^{\mathbf T}\mathbf C\pmb{\omega}\\s.t.\\\sum_{i}\omega_i=1\\\mathbf \mu^{\mathbf T}\pmb{\omega}>\rho\\\omega_1,\omega_2,...\omega_n>0 minωTCωs.t.i∑ωi=1μTω>ρω1,ω2,...ωn>0

也就是说，如果我们想要衡量一个投资组合的风险，我们需要投资组合的相关性矩阵。这个矩阵可能很大，因此我们希望降低维度，减少我们的计算量。我们可以将每一个资产的收益都分解到不同因子上，因子个数会远远小于投资组合里的资产个数。

所以我们引入了Barra因子模型，我们的目的是通过因子间的相关性矩阵，最终得到股票间（投资组合）的相关性矩阵。因此下面，我们先来看看如何获得因子间的相关性矩阵

2. Barra因子收益率

为了得到Barra因子的相关性矩阵，我们要先得到Barra中每个因子的收益率。这就像我们知道了每一只股票的收益率后，才能计算得到每两个股票的相关系数。

现在假设某一日，投资组合中有 N N N支股票，我们把 N N N支股票的收益分别分解到 K K K个因子上。 f f f代表因子收益率，这个因子收益率对当日所有投资组合中的 N N N个股票都是相同的，例如 f k f_k fk代表k因子上的日收益率。

既然是共同的，我们就可以通过回归得到f的值。注意，我们这里是在某一日这个时间点对投资组合上的所有股票做回归，因此做的是横截面回归而不是时间序列回归。 f k f_k fk代表k因子上的日收益率， x n , k x_{n,k} xn,k代表股票n在因子k上的暴露。暴露度的计算方法就要参考barra手册了。

为方便理解，此处不区分行业因子/风格因子/国家因子，我们可以将该日的N支个股收益 r n r_n rn对 K K K个因子进行回归（回归没有加截距项的原因会在后面具体说）。

r n = ∑ i = 1 K x n , k × f k + ε n r_n= \sum_{i=1}^Kx_{n,k}\times f_k+\varepsilon_n rn=i=1∑Kxn,k×fk+εn
回归后我们可以计算出 f 1 f_1 f1到 f K f_K fK的值，也就是 K K K个因子当日的收益率。照这样的方法我们可以回归出从 t = 1 t=1 t=1，到 t = T t=T t=T所有时间上的k个因子收益率。也就是 f t , k f_{t,k} ft,k代表 t t t时间上 k k k因子的收益率。

3. Barra协方差矩阵

到目前为止，我们已经有 K K K个因子的时间序列数据了。下一步就是简单地计算出他们之间的协方差。获得一个协方差矩阵 F F F。下面我们可以计算得到我们一开始想要的股票收益率矩阵。其中 V V V是股票协方差矩阵，F是因子协方差矩阵， Δ \Delta Δ是股票特质收益率矩阵，在这里先不具体介绍：
V = X F X T + Δ V = XFX^T+\Delta V=XFXT+Δ

4. 其他值得注意的事情

4.1回归截距项与国家因子

在中国版的barra因子手册中加入了国家因子，其实相当于在回归方程中加入了一个截距项。但是在一些套利行为普遍的国家市场中，不需要添加截距项，只需要将等式左侧的因变量——股票收益率 r n r_n rn直接减去无风险收益率，变成 r n − r f r_n-r_f rn−rf即可。这是因为套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory)认为，在套利频繁的市场中，无风险利率就会是截距项。由于中国不符合理论前提，因此截距项也不一定是无风险利率，所以要加上国家因子（也就是一个截距项）。

4.2 求因子收益率的约束

在barra模型中，由于回归模型的解不唯一，因此加入了一些限制条件。比如在use4中加入的限制条件是市值加权的行业因子收益和为0。

4.3 因子数据滞后

在回归模型中，我们使用的是下一期股票收益率r和当期因子暴露 x x x，所以回归得到的因子收益率 f f f也是当期的。对于为什么不能使用barra对下一期股票收益进行预测和投资，我的理解是，barra因子已经被市场上投资者了解，因此成为了beta因子，alpha超额依然要靠少数人挖到的alpha因子赚取。

如果有什么不对的地方，也请大家斧正！