门函数卷积_卷积及其应用
卷积公式的由来
卷积公式最开始来自于古典概型。
如题，掷两次公平的骰子，点数之和等于8的概率。
设随机变量
将该例子拓展到连续型随机变量。
设
同理
由此可得卷积公式：
离散随机变量的卷积公式
连续随机变量的卷积公式
可得随机变量和的概率密度函数等于随机变量概率密度函数的卷积
卷积公式在信号系统中的应用
卷积公式在信号处理领域最重要的应用来自于，两个信号时域上的卷积运算的傅立叶变换等于两个信号在频域上的相乘。
我们可以利用这个性质进行信号滤波。比如在频域中我们将任意信号与门信号相乘，相当于将高次谐波分量给剔除掉了，这也叫做低通滤波 ，平滑了信号。
而保留曲线边缘的滤波又称高通滤波，这一特征可以用来边缘检测 [1]。
中心极限定理的证明
在生活中，许多随机变量由许多随机因素综合影响，那么随机变量和的分布服从高斯分布 [2]。
首先，设随机变量
因为随机变量和的概率密度等于随机变量概率密度的卷积 [2]。
令
将随机变量标准化
将概率密度函数求傅立叶变换得
当
傅立叶逆变换求的随机变量和的概率密度函数
可见，大量独立同分布的随机变量之和服从高斯分布。
此外，证明中心极限定理的过程可以用来引出随机变量的特征函数或矩量母函数。
特征函数与矩量母函数
由定义得
由定义可以看出随机变量的特征函数是随机变量的共轭傅立叶变换。
并且特征函数的第
另外特征函数还有一个重要的性质
这个性质同样可以用来证明中心极限定理(独立同分布)。
证明过程同上中心极限定理证明。
此外提一下矩量母函数。
因和特征函数差不多，故不详细介绍。
卷积与卷积核
在图像处理中，用的最多的是卷积核。从名字上就能看出与卷积公式有必然联系。
从上面的动图看卷积核的运算，好像和之前推导的公式有出入
因为，一般
而卷积公式是倒过来加权求和。
其实很简单，一般卷积核是已经将卷积核处理过，即已翻转
参考文献
[1] TaigaComplex. 2015. [傅立叶变换及其应用学习笔记] 十. 卷积与中心极限定理. Retrieved September 23, 2019 from https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/5014957.html.
[2] 盛骤, 谢式千, 潘承毅. 2008. 概率论与数理统计.
[3] Yuval Filmus. 2010. Two Proofs of the Central Limit Theorem. Retrieved September 23, 2019 from http://www.cs.toronto.edu/~yuvalf/CLT.pdf.
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