求矩阵的逆矩阵逆的求法详解

矩阵的逆定义

针对一个n阶的矩阵A，如果存在一个n阶的矩阵B满足AB=BA=E,则称A是可逆的， B是A的逆。这里记作B=。矩阵的逆(inverse of a matrix)和数的逆即倒数（inverse of a number）类似即两个元素相乘等于“1”，只不过这里的“1”对应的是一个n阶的单位矩阵(对角线元素全为1，其它元素全为0）。

如果|A|≠0，则A可逆，且= A*/|A| （由伴随矩阵定义得知）

如果|A|=0，则成矩阵A是奇异矩阵，退化的，反之为非奇异矩阵。

矩阵逆的性质

如果A可逆，则A逆的逆是A，即 () =A，（类似矩阵的转置）
如果A可逆，λ≠0，则(λA) =1/λ
如果A、B是同阶的且均可逆,AB也可逆，且 (AB) = BA

矩阵逆的求法

初等变换法

对矩阵(A,E)同时实施初等变换，当A变成E时，E变成的矩阵即是。

已知矩阵A，求其逆矩阵

伴随矩阵法

N阶矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0

已知矩阵A，求其逆矩阵

注：求解伴随矩阵时，按行求代数余子式，按列形式摆放（构建）。

定义法

因为这种方法对矩阵阶数比较小的比较适合(比如2阶的)，所以这种方法不是很常用。

可以按照矩阵逆的定义，假设有个矩阵B（用未知量代替），那么根据AB=BA=E的定义会列出方程组，进而解出各未知量的值，得到最终的矩阵B即为A的逆。

矩阵逆的意义

我们知道当A的行列式不等于0时即|A|≠0是，那么方程Ax=b有唯一解，即

x=b则

这里即是矩阵A的伴随矩阵(即A的代数余子式按行求按列存放组成的新矩阵)

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