自动控制原理期末复习（Part3时域分析）
本文涉及图片均来自《自动控制原理（第2版）》（清华大学出版社）
第三章 线性系统的时域分析法
接下来的三个章节将分别介绍线性系统的时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法，这三个部分的结构十分相似，每个部分基本都由三个板块构成：分析系统的稳定性（判稳）、系统瞬态性能和稳态性能（性能）、改善性能的方法（设计）。
本章讨论时域分析，就是控制系统在一定的输入信号作用下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。时域分析的特点就是直观准确，表达式是关于时间ttt的函数，所以也称作系统的时间响应。
一、典型的输入信号
| 名称 | 信号定义 | 拉氏变换 |
|---|---|---|
| 脉冲信号 | δ(t)={0,t≠0∞,t=0\delta(t)=\bigg\{ \begin{matrix} 0,\ t\not= 0 \\ \infty,\ t=0 \end{matrix} δ(t)={0, t=0∞, t=0 ∫−∞+∞δ(t)dt=1\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1 ∫−∞+∞δ(t)dt=1 | L[δ(t)]=1L[\delta(t)]=1 L[δ(t)]=1 |
| 阶跃信号 | rs(t)={0,t<0A⋅1(t),t≥0r_s(t)=\bigg\{ \begin{matrix} 0,\ t< 0 \\ A·1(t),\ t\geq0 \end{matrix} rs(t)={0, t<0A⋅1(t), t≥0 | L[1(t)]=1s,A=1L[1(t)]=\frac{1}{s},\ A=1L[1(t)]=s1, A=1 |
| 斜坡信号（速度阶跃） | rv(t)={0,t<0At,t≥0r_v(t)=\bigg\{ \begin{matrix} 0,\ t< 0 \\ At,\ t\geq0 \end{matrix} rv(t)={0, t<0At, t≥0 | L[t]=1s2,A=1L[t]=\frac{1}{s^2},\ A=1L[t]=s21, A=1 |
| 抛物线信号（加速度阶跃） | ra(t)={0,t<012At2,t≥0r_a(t)=\bigg\{ \begin{matrix} 0,\ t< 0 \\ \frac 1 2 At^2,\ t\geq0 \end{matrix} ra(t)={0, t<021At2, t≥0 | L[12t2]=1s3,A=1L[\frac{1}{2}t^2]=\frac{1}{s^3},\ A=1L[21t2]=s31, A=1 |
| 正弦信号 | r(t)={0,t<0Asinωt,t≥0r(t)=\bigg\{ \begin{matrix} 0,\ t< 0 \\ Asin\omega t,\ t\geq0 \end{matrix} r(t)={0, t<0Asinωt, t≥0 | L[sinωt]=ωs2+ω2,A=1L[sin\omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},\ A=1L[sinωt]=s2+ω2ω, A=1 |
二、瞬态响应、稳态响应与性能指标
2.1 瞬态响应
又称瞬态过程或过渡过程，是系统在典型输入信号作用下，输出量从初始状态到最终状态的响应过程。瞬态响应过程曲线可能表现为衰减振荡、等幅振荡或发散等形式，一个稳定运行的控制系统的瞬态过程必须是衰减的。
瞬态性能指标
- 上升时间trt_rtr：单位阶跃响应第一次达到稳态值的时间。上升时间越短，响应速度越快。
- 延迟时间tdt_dtd：单位阶跃响应第一次达到稳态值50%的时间。
- 峰值时间tpt_ptp：单位阶跃响应到达第一个峰值的时间
- 最大超调量δ%\delta \%δ%：单位阶跃响应的最大值ymax=y(tp)y_{max}=y(t_p)ymax=y(tp)与稳态值y(∞)y(\infty)y(∞)之差与稳态值的之比的百分数，即：δ%=y(tp)−y(∞)y(∞)×100%\delta \%=\frac{y(t_p)-y(\infty)}{y(\infty)}\times 100\%δ%=y(∞)y(tp)−y(∞)×100%单调上升的阶跃响应没有超调量和峰值时间。
- 调整时间tst_sts：当y(t)y(t)y(t)与y(∞)y(\infty)y(∞)的误差绝对值小于等于规定允许值，且以后不再超过次值所需要的最短时间。即：∣y(t)−y(∞)∣≤y(∞)×Δ%,t≥ts|y(t)-y(\infty)|\leq y(\infty)\times \Delta \%,\ t\geq t_s∣y(t)−y(∞)∣≤y(∞)×Δ%, t≥ts
- 振荡次数NNN：从开始到调节时间内，单位阶跃响应穿越稳态值次数的一半。
2.2 稳态响应
又称稳态过程，是系统在典型输入信号作用下，当时间趋近于无穷大时，系统的输出响应状态。工程上把瞬态响应在调节时间以后的响应过程视为稳态过程。
稳态性能指标
主要是稳态误差，详见下方介绍。
三、典型一阶系统
3.1 数学模型
一阶系统微分方程为：
Tdy(t)dt+y(t)=r(t)T\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=r(t)Tdtdy(t)+y(t)=r(t)
零初始条件下，一阶系统传递函数为：
Φ(s)=Y(s)R(s)=1Ts+1\Phi(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{Ts+1}Φ(s)=R(s)Y(s)=Ts+11
3.2 一阶系统对典型输入信号的响应（上一个是下一个的导数关系）
| 输入信号 | 输出响应 |
|---|---|
| δ(t)\delta(t)δ(t) | e−t/T/T,t≥0e^{-t/T}/T,\ t\geq 0e−t/T/T, t≥0 |
| 1(t)1(t)1(t) | 1−e−t/T,t≥01-e^{-t/T},\ t\geq 01−e−t/T, t≥0 |
| ttt | t−T+Te−t/T,t≥0t-T+Te^{-t/T},\ t\geq 0t−T+Te−t/T, t≥0 |
| t2/2t^2/2t2/2 | t2/2−Tt+T2(1−e−t/T),t≥0t^2/2-Tt+T^2(1-e^{-t/T}),\ t\geq 0t2/2−Tt+T2(1−e−t/T), t≥0 |
3.3 一阶系统的瞬态性能指标（针对单位阶跃响应）
- 延迟时间：td≈0.693Tt_d \approx 0.693Ttd≈0.693T
- 上升时间：tr≈2.197Tt_r\approx 2.197Ttr≈2.197T
- 调整时间：ts=−TlnΔ%≈{4T,Δ=23T,Δ=5t_s=-Tln\Delta\%\approx\bigg\{\begin{matrix}4T,\ \Delta=2\\ 3T,\ \Delta=5 \end{matrix}ts=−TlnΔ%≈{4T, Δ=23T, Δ=5
3.4 改善一阶系统瞬态性能（减小时间常数）
方法一：通过负反馈减小时间常数
Φ(s)=1α+1Tα+1s+1\Phi(s)=\frac{\frac{1}{\alpha+1}}{\frac{T}{\alpha+1}s+1}Φ(s)=α+1Ts+1α+11
方法二：通过增加开环放大系数减小时间常数
Φ(s)=11αKs+1=1Tαs+1\Phi(s)=\frac{1}{\frac{1}{\alpha K}s+1}=\frac{1}{\frac{T}{\alpha }s+1}Φ(s)=αK1s+11=αTs+11
四、典型二阶系统的瞬态性能
4.1 数学模型
二阶系统微分方程为：
T2d2d(t)dt2+2ζTdy(t)dt+y(t)=r(t),t≥0T^2\frac{d^2d(t)}{dt^2}+2\zeta T\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=r(t),\ t\geq0T2dt2d2d(t)+2ζTdtdy(t)+y(t)=r(t), t≥0
零初始条件下，二阶系统传递函数为：
Φ(s)=Y(s)R(s)=1T2s2+2ζTs+1=ωn2s2+2ζωns+ωn2\Phi(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{T^2s^2+2\zeta Ts+1}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n^2}Φ(s)=R(s)Y(s)=T2s2+2ζTs+11=s2+2ζωns+ωn2ωn2
4.2 二阶系统的单位阶跃响应
根据传递函数分母多项式（特征方程）解的情况分类：
| 阻尼系数 | 特征方程根 | 特征方程根的位置 | 单位阶跃响应的形式 |
|---|---|---|---|
| 无阻尼ζ=0\zeta=0ζ=0 | ±jωn\pm j\omega_n±jωn | 虚轴上一对共轭虚根 | 等幅周期振荡 |
| 欠阻尼0<ζ<10<\zeta<10<ζ<1 | −ζωn±jωn1−ζ2-\zeta\omega_n\pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}−ζωn±jωn1−ζ2 | s左半平面一对共轭复根 | 衰减振荡 |
| 临界阻尼ζ=1\zeta=1ζ=1 | −ωn-\omega_n−ωn | 负实轴上一对重根 | 单调上升 |
| 过阻尼ζ>0\zeta>0ζ>0 | −ζωn±ωnζ2−1-\zeta\omega_n\pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}−ζωn±ωnζ2−1 | 负实轴上两个互异根 | 单调上升 |
4.3 二阶系统的瞬态性能指标
欠阻尼典型二阶系统的瞬态性能指标
- 上升时间：tr=π−arccosζωn1−ζ2=π−β(阻尼角)ωd(阻尼振荡频率)t_r=\frac{\pi-arccos\zeta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi-\beta(阻尼角)}{\omega_d(阻尼振荡频率)}tr=ωn1−ζ2π−arccosζ=ωd(阻尼振荡频率)π−β(阻尼角)
- 峰值时间：tp=πωn1−ζ2=πωdt_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi}{\omega_d}tp=ωn1−ζ2π=ωdπ
- 超调量：δ%=e−ζπ1−ζ2×100%\delta\%=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%δ%=e−1−ζ2ζπ×100%
- 调整时间：ts≈{4ζωn,Δ=23ζωn,Δ=5t_s\approx\bigg\{\begin{matrix}\frac{4}{\zeta\omega_n},\ \Delta=2\\ \frac{3}{\zeta\omega_n},\ \Delta=5\end{matrix}ts≈{ζωn4, Δ=2ζωn3, Δ=5
- 振荡次数：N=ts2π/ωdN=\frac{t_s}{2\pi/\omega_d}N=2π/ωdts
过阻尼（临界阻尼）二阶系统的瞬态性能指标
- 上升时间：tr=1+1.5ζ+ζ2ωnt_r=\frac{1+1.5\zeta+\zeta^2}{\omega_n}tr=ωn1+1.5ζ+ζ2
- 调整时间：ts≈{8.4/ωn,Δ=26.6/ωn,Δ=5t_s\approx\bigg\{\begin{matrix}8.4/\omega_n, \Delta=2\\ 6.6/\omega_n, \Delta=5\end{matrix}ts≈{8.4/ωn,Δ=26.6/ωn,Δ=5
4.4 二阶系统瞬态性能改善
比例微分校正
传递函数为：Φ(s)=ωn2(kp+kds)s2+(2ζωn+ωn2kd)s+ωn2kp=1z⋅ωkd2(s+z)s2+2ζkdωkds+ωkd2\Phi(s)=\frac{\omega_n^2(k_p+k_d s)}{s^2+(2\zeta\omega_n+\omega_n^2k_d)s+\omega_n^2k_p}=\frac 1 z ·\frac{\omega_{kd}^2(s+z)}{s^2+2\zeta_{kd}\omega_{kd}s+\omega_{kd}^2}Φ(s)=s2+(2ζωn+ωn2kd)s+ωn2kpωn2(kp+kds)=z1⋅s2+2ζkdωkds+ωkd2ωkd2(s+z)
其中，z=kpkd,ωkd=kpωn,ζkd=(ζ+ωnkd2)/kpz=\frac{k_p}{k_d},\ \omega_{kd}=\sqrt{k_p\omega_n},\ \zeta_{kd}=(\zeta+\frac{\omega_nk_d}{2})/\sqrt{k_p}z=kdkp, ωkd=kpωn, ζkd=(ζ+2ωnkd)/kp
速度反馈校正
传递函数为：Φ(s)=ωn2s2+(2ζωn+τωn2)s+ωn2\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+(2\zeta\omega_n+\tau\omega_n^2)s+\omega_n^2}Φ(s)=s2+(2ζωn+τωn2)s+ωn2ωn2
五、高阶系统的时域分析
跳过讨论，直接上结论：
- 若某极点远离原点，其相应的瞬态响应分量的系数很小
- 若某极点接近一个零点，而远离其他零极点，则相应的瞬态响应分量的系数也很小
- 若某极点远离零点而又接近原点或其他极点，则相应的瞬态响应分量的系数比较大
主导极点
满足以下情况的极点称为主导极点：
- 离虚轴最近且周围没有零点
- 其他极点与虚轴的距离比该极点与虚轴的距离的五倍还要远
保留主导极点，略去其他极点，可以化简系统。但是要注意简化系统的稳态值要与原系统的稳态值一致
六、线性控制系统的稳定性分析
6.1 线性控制系统渐进稳定的充分必要条件
系统的所有特征根必须位于s平面的左半开平面。
6.2 代数稳定性判据（只讨论劳斯判据）
假设线性控制系统的特征方程为：ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\dots+a_1s+a_0=0ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0=0
劳斯阵列定义为：snanan−2an−4…sn−1an−1an−3an−5…sn−2b1b2b3…sn−3c1c2c3…⋮⋮s0x1\begin{array}{c|llll} {s^n}&{a_n}&{a_{n-2}}&{a_{n-4}}&{\dots}\\{s^{n-1}}&{a_{n-1}}&{a_{n-3}}&{a_{n-5}}&{\dots}\\{s^{n-2}}&{b_1}&{b_2}&{b_3}&{\dots}\\{s^{n-3}}&{c_1}&{c_2}&{c_3}&{\dots}\\ {\vdots}&{\vdots}\\ {s^0}&{x_1}\end{array}snsn−1sn−2sn−3⋮s0anan−1b1c1⋮x1an−2an−3b2c2an−4an−5b3c3…………
其中，bi=−1an−1∣anan−2ian−1an−1−2i∣,i=1,2,…b_i=\frac{-1}{a_{n-1}}\begin{vmatrix}a_n&a_{n-2i}\\ a_{n-1} &a_{n-1-2i} \end{vmatrix},\ i=1,2,\dotsbi=an−1−1∣∣anan−1an−2ian−1−2i∣∣, i=1,2,…
下方各行都按照这种方式生成相应位置的元素。
系统特征方程具有正实部根的数目与劳斯阵列第一列元素符号变化的次数相等。因此线性系统稳定的充要条件是：劳斯阵第一列元素没有符号变化。
特殊情况：
- 某一行的第一列元素为0，用一个小正数ϵ\epsilonϵ代替，根据此数继续计算，若它与其上面或下面元素符号相反，则记一次符号变化。
- 某一行元素全为0，说明系统的特征方程存在着大小相等而径向位置相反的根，至少存在下述几种特征根之一：存在大小相等、符号相反的一对实根；或共轭虚根；或对称于虚根的两对共轭复根。此时可以用全零行的上一行元素构造一个辅助方程，并将该辅助方程对复变量s求导，用求导后方程的系数取代全零行元素，继续构建劳斯阵。辅助方程的根一般就是共轭复根。
七、线性控制系统的稳态性能分析
7.1 系统型别
系统的开环传函可表示为：Gk(s)=Ksν⋅∏i=1m1(τis+1)∏k=1m2(τk2s2+2ζkτks+1)∏j=1n1(Tjs+1)∏l=1n2(Tl2s2+2ζlTls+1)=Ksν⋅G0(s)G_k(s)=\frac{K}{s^{\nu}}·\frac{\prod\limits_{i=1}^{m_1}(\tau_is+1)\prod\limits_{k=1}^{m_2}(\tau_k^2s^2+2\zeta_k\tau_ks+1)}{\prod\limits_{j=1}^{n_1}(T_js+1)\prod\limits_{l=1}^{n_2}(T_l^2s^2+2\zeta_lT_ls+1)}=\frac{K}{s^{\nu}}·G_0(s)Gk(s)=sνK⋅j=1∏n1(Tjs+1)l=1∏n2(Tl2s2+2ζlTls+1)i=1∏m1(τis+1)k=1∏m2(τk2s2+2ζkτks+1)=sνK⋅G0(s)
满足：m1+2m2=m,v+n1+2n2=nm_1+2m_2=m,\ v+n_1+2n_2=nm1+2m2=m, v+n1+2n2=n
将ν\nuν的取值，也就是积分环节的个数定义为系统型别（0型、Ⅰ型、Ⅱ型等等）。
7.2 系统稳态误差
假设被研究的控制系统是稳定的，得到控制系统的给定稳定误差为：
essr=lims→0sE(s)=lims→0sR(s)1+Gk(s)=lims→0sR(s)1+Ksν⋅G0(s)e_{ssr}=\lim\limits_{s\to 0}sE(s)=\lim\limits_{s\to 0}\frac{sR(s)}{1+G_k(s)}=\lim\limits_{s\to 0}\frac{sR(s)}{1+\frac{K}{s^{\nu}}·G_0(s)}essr=s→0limsE(s)=s→0lim1+Gk(s)sR(s)=s→0lim1+sνK⋅G0(s)sR(s)
典型参考输入下系统的给定稳定误差和静态误差系数
7.3 减小或消除稳态误差的措施
（1）比例积分控制
（2）复合控制
顺馈控制系统
前馈控制系统
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