0 简单情况

先从简单的情况开始推导，考虑三个向量a⃗,b⃗,c⃗\vec{a},\vec{b},\vec{c}a,b,c在同一个平面，其中c⃗⊥a⃗\vec{c} \perp \vec{a}c⊥a，如下图所示，求取(a⃗×b⃗)×c⃗(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}(a×b)×c：

易得(a⃗×b⃗)×c⃗(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}(a×b)×c与a⃗\vec{a}a反向，我们设：
(a⃗×b⃗)×c⃗=k⋅a⃗(1)(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=k \cdot \vec{a} \tag{1} (a×b)×c=k⋅a(1)
其中kkk为常数，利用长度的性质：
∣a⃗∣∣b⃗∣∣c⃗∣sin(<a,b>)=∣k∣∣a⃗∣(2)|\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|sin(<a,b>)=|k||\vec{a}| \tag{2} ∣a∣∣b∣∣c∣sin(<a,b>)=∣k∣∣a∣(2)
其中<a,b><a,b><a,b>表示向量a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b}a,b的夹角，根据几何关系可以得到：
∣b⃗∣∣c⃗∣sin(π2±<b,c>)=∣k∣(3)|\vec{b}||\vec{c}|sin(\frac{\pi}{2} \pm <b,c>)=|k|\tag{3} ∣b∣∣c∣sin(2π±<b,c>)=∣k∣(3)
进而：
∣k∣=∣b⃗∣∣c⃗∣cos(<b,c>)=b⃗⋅c⃗(4)|k|=|\vec{b}||\vec{c}|cos(<b,c>)=\vec{b} \cdot \vec{c}\tag{4} ∣k∣=∣b∣∣c∣cos(<b,c>)=b⋅c(4)
得出结论此时，根据几何关系可得正负号：
(a⃗×b⃗)×c⃗=−(b⃗⋅c⃗)⋅a⃗(5)(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a}\tag{5} (a×b)×c=−(b⋅c)⋅a(5)
同理假设c⃗⊥b⃗\vec{c} \perp \vec{b}c⊥b，此时结果向量与b⃗\vec{b}b同向，可以得出结论：
(a⃗×b⃗)×c⃗=(a⃗⋅c⃗)⋅b⃗(6)(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b}\tag{6} (a×b)×c=(a⋅c)⋅b(6)

1 由简单情况到一般情况.

对于任意三维空间向量c⃗\vec{c}c可以分解为垂直a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b}a,b所在平面的分量c⃗ab\vec{c}_{ab}cab，与a⃗\vec{a}a垂直的分量c⃗a\vec{c}_{a}ca，与b⃗\vec{b}b垂直的分量c⃗b\vec{c}_{b}cb：
(a⃗×b⃗)×c⃗=(a⃗×b⃗)×(c⃗a+c⃗b+c⃗ab)(7)(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c}_{a}+\vec{c}_{b}+\vec{c}_{ab})\tag{7} (a×b)×c=(a×b)×(ca+cb+cab)(7)
于是根据式（5）（6）以及垂直关系：
(a⃗×b⃗)×c⃗=(a⃗⋅cb⃗)⋅b⃗−(b⃗⋅ca⃗)⋅a⃗=(a⃗⋅c⃗)⋅b⃗−(b⃗⋅c⃗)⋅a⃗(8)(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c_b}) \cdot \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c_a}) \cdot \vec{a}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \cdot \vec{a}\tag{8} (a×b)×c=(a⋅cb)⋅b−(b⋅ca)⋅a=(a⋅c)⋅b−(b⋅c)⋅a(8)

2 三个三维矢量连续叉乘的矩阵公式

2.1 叉乘的矩阵表示

后文将不再涉及未知数，字母将直接表示矢量。对于一个矢量www其叉乘任意矢量vvv，等价于一个矩阵乘vvv，该矩阵记为w×w_{\times}w×，其值如下：
w×v=w×v=[0−wzwywz0−wx−wywx0]v(9)w \times v=w_{\times}v=\begin{bmatrix} 0 & -w_z & w_y \\ w_z & 0 & -w_x \\ -w_y & w_x & 0 \end{bmatrix}v\tag{9} w×v=w×v=⎣⎡0wz−wy−wz0wxwy−wx0⎦⎤v(9)
该矩阵的性质如下图，本文只针对连续叉乘的性质(下图性质(7)(8))进行证明，其余的性质比较简单：

先看倒数第二条性质(8)，根据式8：
(a×b)×c=baTc−abTc=(baT−abT)c(10)(a \times b) \times c=ba^Tc-ab^Tc=(ba^T-ab^T)c\tag{10} (a×b)×c=baTc−abTc=(baT−abT)c(10)
从而得：
(a×b)×=baT−abT(11)(a\times b)_{\times}=ba^T-ab^T\tag{11} (a×b)×=baT−abT(11)
性质(9)很容易验证，那么结合性质(8)可以轻易推出性质(7)

三个三维矢量叉乘公式（拉格朗日矢量公式）推导（非坐标法）相关推荐

plsql 为空显示 0 的函数_记住这三个检测函数，彻底清除公式当中的0值
一.检测单元格是否为空在做一些表格计算的时候,我们需要下拉公式,但公式下拉之后会有很多0产生,如果我们不需要这个0,我们可以用ISBLANK函数,根据检测前面的关键单元格是否是空的,然后再用IF函数 ...
用C语言实现定积分求解的三种方法，梯形公式，辛普森公式，自适应辛普森公式
1.梯形公式: 梯形公式(trapezoidal rule)是一种求定积分的方法.它假定函数在区间上是一条直线,因此可以通过计算梯形的面积来估计函数的定积分 #include<stdio.h&g ...
三维空间刚体运动2：旋转向量与罗德里格斯公式（最详细推导）
三维空间刚体运动2:旋转向量与罗德里格斯公式(最详推导) 1.旋转向量定义 2.罗德里格斯公式-向量转换为矩阵 2.1 定义 2.2 推导 2.2.1 推导一 2.2.2 推导二 2.2.3 推导向量 ...
排列公式和组合公式_排列与组合：排列公式与组合公式之间有什么区别？
排列公式和组合公式 Here's the short version. 这是简短的版本. Let's take ringing bells in a church as an example. 让我们 ...
罗德里格斯公式(Rodrigues‘ rotation formula)推导
罗德里格斯公式(Rodrigues' rotation formula)推导向量形式如图所示,三维空间中的一个矢量 v \bold v v绕轴 k \bold k k旋转 θ \theta θ角度 ...
AdaBoost公式简单版本的推导
读书随处净土,闭门即是深山.假期夜时,突然想到了<小窗幽记>这句话,补上这一篇很久之前就应该记录的笔记. 背景集成学习在机器学习的有监督学习算法中,我们的目标是学习出一个稳定的且在各个 ...
需求定律公式和需求弹性推导——《可…
需求定律公式和需求弹性推导--<可以量化的经济学> 本章将论述经济学的基础定律,包括商品市场的需求定律和供给定律,劳动市场的需求定律和供给定律,广义经济学和价值相对论.文中给出了需求定律公 ...
需求定律公式和需求弹性推导——《可以量化的经济学》
第五章经济学基础理论-需求定律本章将论述经济学的基础定律,包括商品市场的需求定律和供给定律,劳动市场的需求定律和供给定律,广义经济学和价值相对论.文中给出了需求定律公式为Q=K(B-P):供给定律公 ...
word 自带公式编辑器中公式等号对齐方法
注意:这种方法只能对带括号的公式有用,比如下面的括号:且行数是根据 Enter 换行自动填补的,不是矩阵设定的 ! 我们在写论文时经常遇到公式不对齐问题,影响美观,下面详细介绍一下 word 自带公式 ...
基于三维GIS技术的矢量地图动态LOD渲染方法研究现状
"地图是人类文化的杰作,它融科学.艺术于一体,作为描述.研究人类生存环境的一种信息载体是人类生产与生活中不可缺少的一种工具."这是陈述彭院士为<中国地图学年鉴>作序的开 ...

三个三维矢量叉乘公式（拉格朗日矢量公式）推导（非坐标法）

0 简单情况

1 由简单情况到一般情况.

2 三个三维矢量连续叉乘的矩阵公式

2.1 叉乘的矩阵表示

三个三维矢量叉乘公式（拉格朗日矢量公式）推导（非坐标法）相关推荐

最新文章

热门文章