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Matlab解微分方程(ODE+PDE).pdf33页

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常微分方程：

1 ODE 解算器简介(ode**)

2 微分方程转换

3 刚性/非刚性问题(Stiff/Nonstiff)

4 隐式微分方程(IDE)

5 微分代数方程(DAE)

6 延迟微分方程(DDE)

7 边值问题(BVP) 偏微分方程(PDEs)Matlab 解法

偏微分方程：

1 一般偏微分方程组(PDEs)的命令行求解

2 特殊偏微分方程(PDEs)的PDEtool 求解

3 陆君安《偏微分方程的 MATLAB 解法

先来认识下常微分方程(ODE)初值问题解算器(solver)

[T,Y,TE,YE,IE] = odesolver(odefun,tspan,y0,options)

sxint = deval(sol,xint)

Matlab 中提供了以下解算器：

输入参数：

odefun ：微分方程的 Matlab 语言描述函数，必须是函数句柄或者字符串，必须写成 Matlab

规范格式(也就是一阶显示微分方程组) ，这个具体在后面讲解

tspan=[t0 tf]或者[t0,t1,…tf]：微分变量的范围，两者都是根据t0 和 tf 的值自动选择步长，只

是前者返回所有计算点的微分值，而后者只返回指定的点的微分值，一定要注意对于后者

tspan 必须严格单调，还有就是两者数据存储时使用的内存不同( 明显前者多) ，其它没有任何

本质的区别

y0=[y(0),y’(0),y’’(0)…] ：微分方程初值，依次输入所有状态变量的初值，什么是状态变量在

后面有介绍

options ：微分优化参数，是一个结构体，使用odeset 可以设置具体参数，详细内容查看帮助

输出参数：

T ：时间列向量，也就是ode**计算微分方程的值的点

Y ：二维数组，第 i 列表示第 i 个状态变量的值， 行数与 T 一致

在求解 ODE 时，我们还会用到 deval()函数，deval 的作用就是通过结构体 solution 计算 t

对应 x 值，和 polyval 之类的很相似！

参数格式如下：

sol：就是上次调用ode**函数得道的结构体解

xint ：需要计算的点，可以是标量或者向量，但是必须在tspan 范围内

该函数的好处就是如果我想知道 t=t0 时的 y 值，不需要重新使用 ode 计算，而直接使用上

次计算的得道 solution 就可以

[教程] 微分方程转换为一阶显示微分方程组方法

好，上面我们把 Matlab 中的常微分方程(ODE)的解算器讲解的差不多了，下面我们就具体

开始介绍如何使用上面的知识吧！

现实总是残酷的，要得到就必须先付出，不可能所有的 ODE 一拿来就可以直接使用，因此，

在使用 ODE 解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步，借助状态变量将微分

方程组化成 Matlab 可接受的标准形式 (一阶显示常微分方程) ！

如果 ODEs 由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将其变换成一阶显式常微分方程组 ！

下面我们以两个高阶微分方程构成的 ODEs 为例介绍如何将之变换成一个一阶显式常微分方

程组。

step1.将微分方程的最高阶变量移到等式的左边，其他移到右边，并按阶次从低到高

排列，假如说两个高阶微分方程最后能够显式的表达成如下所示：

我们说过现实总是残酷的，有时方程偏偏是隐式的，没法写成上面的样子，不用担心 Matlab

早就为我们想到了，这个留在后面的隐式微分方程数值求解中再详细讲解！

step2.为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外

从上面的变换，我们注意到，ODEs 中所有因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个

(m) (n)

数，最高阶的微分式(比如上面的x 和 y )不需要给它一个状态变量

step3.根据上面选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分的表达式

注意到，最高阶次的微分式的表达式直接就是 step1 中的微分方程

好，到此为止，一阶显式常微分方程组，变化顺利结束，接下来就是Matlab 编程了。请

记住上面的变化很重要，Matla 中所有微分方程的求解都需要上面的变换。

下面通过一个实例演示 ODEs 的转换和求解

【解】真是万幸，该 ODEs 已经帮我们完成了 step1，我们只需要完成 step2 和 step3

了

(1)选择一组状态变量

(2)写出所有状态变量的一阶微分表达式

(4)有了数学模型描述，则可以立即写出相应的 Matlab 代码了 (这里我们优先选择 ode45)

1. x0=[1.

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