SAT(分离轴定理)

翻译自： SAT(Separating Axis Theorem)

2010年1月1日发表

这是我一直想写的一篇文章，但我一直没有抽出时间来做。首先我要说的是，网络上有大量关于这种特殊碰撞检测算法的资料。但是，在解释一些实现细节时，这些资源通常是模糊的（针对我们的目的）。
我计划解释算法，并填补我自己实现时的一些空白。
该教程具有交互式flash示例，可供参考。

引言

分离轴定理，简称SAT，是一种确定两个凸多边形是否相交的方法。该算法还可用于寻找最小穿透矢量，这对于物理仿真和许多其他应用是有用的。SAT是一种快速通用算法，无需对每一对形状类型进行碰撞检测，从而降低代码量和对代码的维护。

凸特性

如前所述，SAT是一种确定两个凸多边形是否相交的方法。如果某个形状与任何穿过该形状的直线只交叉两次，则该形状被称为凸多边形。如果某个形状与穿过该形状的直线交叉两次以上，则该形状为非凸（或凹）。更正式的定义参见维基的定义和数学世界的定义。让我们来看一些例子：

图1: 凸多边形

图2: 非凸多边形

第一个形状被认为是凸的，因为不存在一条可以通过该形状绘制的线，该线将交叉两次以上。第二种形状是非凸的，因为存在一条相交两次以上的线。
SAT只能处理凸多边形，不过，非凸形状可以由凸形状的组合来表示（凸分解）。因此，如果我们需要采用图2中的非凸形状时，可以执行凸分解，这样便得到了两个凸形状。这样我们可以测试每个凸面形状，以确定整个形状的碰撞。

图3: 凸分解

投影

SAT使用的下一个概念是投影。假设你有一个光源，它的光线都是平行的。如果您将灯光照射到对象上，它将在平面上形成阴影。该阴影是三维物体的二维投影。二维物体的投影是一个一维“阴影”。

图4: 投影（阴影）

算法

SAT指出：“如果两个凸面物体没有穿透，则存在一根轴，使得这两个物体在该轴上的投影不重叠。”

无交叉

首先，让我们讨论SAT如何确定两个形状不相交。图5中的两个形状不相交。可以通过在它们之间画一条线来说明。

图5: 两个分开的凸多边形

做辅助线垂直于图5中分隔两个形状的线，并将形状投影到该辅助线上，则它们的投影不重叠。形状的投影（阴影）不重叠的辅助线称为分离轴。在图6中，深灰色线是分离轴，相应的彩色线是形状在分离轴上的投影，其中，投影不重叠，因此根据SAT，形状不相交。

图6: 两个不相交的凸多边形以及相应的投影

SAT可以测试多个轴判断是否重叠。只要投影不重叠，算法可以立即确定形状不相交，从而退出循环。基于这样的特性，SAT非常适合具有许多对象但很少碰撞的应用程序（如游戏、模拟等）。
为了进一步解释，请检查以下伪代码。

Axis[] axes = // get the axes to test;
// loop over the axes
for (int i = 0; i < axes.length; i++) {Axis axis = axes[i];// project both shapes onto the axisProjection p1 = shape1.project(axis);Projection p2 = shape2.project(axis);// do the projections overlap?if (!p1.overlap(p2)) {// then we can guarantee that the shapes do not overlapreturn false;}
}

相交

如果对于所有轴，形状的投影都重叠，则我们可以得出形状相交的结论。图7中，在多个轴上测试了两个凸多边形的投影。这些投影都重叠，因此我们可以断定这两个形状是相交的。

图7: 两个相交的凸多边形

必须测试所有轴是否重叠，以确定交叉点。上述代码修改为：

Axis[] axes = // get the axes to test;
// loop over the axes
for (int i = 0; i < axes.length; i++) {Axis axis = axes[i];// project both shapes onto the axisProjection p1 = shape1.project(axis);Projection p2 = shape2.project(axis);// do the projections overlap?if (!p1.overlap(p2)) {// then we can guarantee that the shapes do not overlapreturn false;}
}
// if we get here then we know that every axis had overlap on it
// so we can guarantee an intersection
return true;

获取分离轴

实现该算法时的第一个问题是：如何知道要测试哪些轴？事实上，这非常简单：
只要测试每个多边形的边的法线即可

图8: 边的法线

边的法线可以通过翻转坐标并取反来获得。例如：

Vector[] axes = new Vector[shape.vertices.length];
// loop over the vertices
for (int i = 0; i < shape.vertices.length; i++) {// get the current vertexVector p1 = shape.vertices[i];// get the next vertexVector p2 = shape.vertices[i + 1 == shape.vertices.length ? 0 : i + 1];// subtract the two to get the edge vectorVector edge = p1.subtract(p2);// get either perpendicular vectorVector normal = edge.perp();// the perp method is just (x, y) =&gt; (-y, x) or (y, -x)axes[i] = normal;
}

在上面的代码中，我们返回形状每个边的垂直向量。这些向量称为“法向量”。然而，这些向量未归一化（不是单位长度）。如果您只需要SAT算法的布尔结果，这就足够了，但如果您需要碰撞信息（稍后在MTV部分中讨论），则这些向量需要归一化（请参见将形状投影到轴的部分）

对每个形状执行此操作，则可获得两个要测试的轴的列表。伪代码修改为：

Axis[] axes1 = shape1.getAxes();
Axis[] axes2 = shape2.getAxes();
// loop over the axes1
for (int i = 0; i < axes1.length; i++) {Axis axis = axes1[i];// project both shapes onto the axisProjection p1 = shape1.project(axis);Projection p2 = shape2.project(axis);// do the projections overlap?if (!p1.overlap(p2)) {// then we can guarantee that the shapes do not overlapreturn false;}
}
// loop over the axes2
for (int i = 0; i < axes2.length; i++) {Axis axis = axes2[i];// project both shapes onto the axisProjection p1 = shape1.project(axis);Projection p2 = shape2.project(axis);// do the projections overlap?if (!p1.overlap(p2)) {// then we can guarantee that the shapes do not overlapreturn false;}
}
// if we get here then we know that every axis had overlap on it
// so we can guarantee an intersection
return true;

将多边形投影到轴

另一个问题是如何将形状投影到轴上。将多边形投影到轴上相对简单；在所有顶点上循环执行与轴的点积，并存储最小值和最大值即可。

double min = axis.dot(shape.vertices[0]);
double max = min;
for (int i = 1; i < shape.vertices.length; i++) {// NOTE: the axis must be normalized to get accurate projectionsdouble p = axis.dot(shape.vertices[i]);if (p < min) {min = p;} else if (p > max) {max = p;}
}
Projection proj = new Projection(min, max);
return proj;

寻找最小平移向量(MTV)

到目前为止，我们只在两个形状是否相交时返回真或假。除此之外，SAT还可以返回最小平移向量（MTV）。MTV是可推导出形状发生碰撞的最小幅值向量。回到图7，我们可以看到轴C的重叠部分最小。该轴和重叠便是MTV，其中，轴是矢量部分，重叠是幅度部分。
为了确定形状是否相交，我们必须在两个形状的所有轴上循环，以便同时跟踪最小重叠和轴。修改伪代码，在形状相交时返回一个MTV。

double overlap = // really large value;
Axis smallest = null;
Axis[] axes1 = shape1.getAxes();
Axis[] axes2 = shape2.getAxes();
// loop over the axes1
for (int i = 0; i < axes1.length; i++) {Axis axis = axes1[i];// project both shapes onto the axisProjection p1 = shape1.project(axis);Projection p2 = shape2.project(axis);// do the projections overlap?if (!p1.overlap(p2)) {// then we can guarantee that the shapes do not overlapreturn false;} else {// get the overlapdouble o = p1.getOverlap(p2);// check for minimumif (o < overlap) {// then set this one as the smallestoverlap = o;smallest = axis;}}
}
// loop over the axes2
for (int i = 0; i < axes2.length; i++) {Axis axis = axes2[i];// project both shapes onto the axisProjection p1 = shape1.project(axis);Projection p2 = shape2.project(axis);// do the projections overlap?if (!p1.overlap(p2)) {// then we can guarantee that the shapes do not overlapreturn false;} else {// get the overlapdouble o = p1.getOverlap(p2);// check for minimumif (o < overlap) {// then set this one as the smallestoverlap = o;smallest = axis;}}
}
MTV mtv = new MTV(smallest, overlap);
// if we get here then we know that every axis had overlap on it
// so we can guarantee an intersection
return mtv;

曲线形状

我们已经看到了如何使用SAT测试多边形，但是像圆形这样的曲线形状呢？曲线形状会给SAT带来问题，因为曲线形状有无限多的分离轴要测试。解决这个问题的方法通常是分解为圆vs圆和圆vs多边形的测试，并做一些更具体的工作。另一种方法是完全不使用曲线形状，使用足够多的顶点数多边形来替换。第二种选择不需要对上面的伪代码进行更改，此处介绍第一种方法。
让我们先看看圆vs圆。通常，首先会执行以下操作：

Vector c1 = circle1.getCenter();
Vector c2 = circle2.getCenter();
Vector v = c1.subtract(c2);
if (v.getMagnitude() < circle1.getRadius() + circle2.getRadius()) {// then there is an intersection
}
// else there isnt

我们知道，如果圆心距比圆半径之和小，则两个圆就会发生碰撞。这个测试实际上是一个类似SAT的测试。要在SAT中实现这一点，我们可以执行以下操作：

Vector[] axes = new Vector[1];
if (shape1.isCircle() && shape2.isCircle()) {// for two circles there is only one axis testaxes[0] = shape1.getCenter().subtract(shape2.getCenter);
}
// then all the SAT code from above</pre>

圆形vs多边形带来了更多的问题。沿多边形轴的中心到中心测试是不够的（事实上，可以省略中心到中心的测试）。在这种情况下，必须包含另一个轴：从多边形上最近顶点到圆中心的轴。要找到多边形上最近的顶点有多种方法，如Voronoi区域，该文中将不会讨论。
其他曲线形状将会是更大的问题，必须以自己的处理方式。例如，胶囊形状可以分解为一个矩形和两个圆形。

包含

许多开发人员选择忽略的问题之一是包含关系。当一个形状包含另一个形状时会发生什么？这个问题通常不会是一个大问题，因为大多数应用程序都不会出现这种情况。首先，让我解释一下这个问题以及如何处理它。然后我会解释为什么应该考虑。

图9: 包含关系

如果一个形状包含在另一个形状中，则根据目前的伪代码，SAT将返回不正确的MTV。矢量和幅度部分可能都不正确。图9显示返回的重叠不足以将形状移出交叉点。所以我们需要做的是检查重叠测试中的包容度。修改SAT代码中的if语句：

if (!p1.overlap(p2)) {// then we can guarantee that the shapes do not overlapreturn false;
} else {// get the overlapdouble o = p1.getOverlap(p2);// check for containmentif (p1.contains(p2) || p2.contains(p1)) {// get the overlap plus the distance from the minimum end pointsdouble mins = abs(p1.min - p2.min);double maxs = abs(p1.max - p2.max);// NOTE: depending on which is smaller you may need to// negate the separating axis!!if (mins < maxs) {o += mins;} else {o += maxs;}}// check for minimumif (o < overlap) {// then set this one as the smallestoverlap = o;smallest = axis;}
}

原因1：形状可能会存在这样的类型。不处理将需要两次或多次SAT迭代来解决是否碰撞，这取决于形状的相对大小。
原因2：如果计划使算法支持线段与其他形状之间的碰撞检测，则必须这样做，因为在某些情况下重叠可能为零（这是因为线段是无限薄的形状）。

其他注意事项

一些其他注意事项：

平行轴可以减少测试轴的数量。例如矩形只有两个轴要测试。
一些形状，如矩形，如果有自己的投影和getAxes函数，可以执行得更快，因为矩形只需要测试2个轴。
最后一个分离轴可用于触发SAT的下一次迭代，使得算法在非相交情况下可以是0(1)。
3D中的SAT最终可以测试很多轴。
我不是专家，请原谅我糟糕的图形。

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