CLOS网络严格无阻塞条件证明

假设三级CLOS网络构造如下：

第一级为K个nxm的交换单元

第二级（中间级）为m个KxK个交换单元

第三级为K个mxn个交换单元

对于某次请求从第一级的某个交换单元S的端口A输入，从第三级的某个交换单元Q的端口B输出。

此时称正在被S使用的第二级的交换单元的集合为T(S)，正在被Q使用的第二级的交换单元的集合为T(Q)。

（正在使用指的是正在传输）

“T(S) U T(Q)等于由第二级所有交换单元构成的集合” 等价于 “本次请求会发生阻塞”。

由于本次请求从A输入到B输出，则A对应入线与B对应的出线均空闲的。因此 |T(S)|<=n-1,|T(Q)|<=n-1。

因此|T(S) U T(Q)|<= |T(S)|+|T(Q)|<=2n-2。

而当K大于1时，存在|T(S) U T(Q)|= |T(S)|+|T(Q)|的情况，即T(S）与T(Q)无交集，所以2n-2是可以取到的。

因此要满足无阻塞条件，需要使得任何请求发生时对应的|T(S) U T(Q)|都要小于m(第二级个数）。

故，m取2n-1为严格无阻塞条件。

特别地，当K=1时，m=2n-1不为必要条件，因为此时T(S)=T(Q)，所以|T(S) U T(Q)|=|T(S)|<=n-1。因此K=1时m>=n即可。

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