问题描述

子序列定义

给定一个序列X=<x1,x2,x3,x4…,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,z3,z4…,zk>，若存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,i3,…,ik>对所有的1,2,3,…,k，都满足x(ik)=zk，则称Z是X的子序列

比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列

子串定义

子串的话与子序列不同，子串要求必须连续。

例如
BCDB 虽然是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列
但不是它的字串因为BCDB不连续。
而BCBD属于<A,B,C,B,D,A,B>的字串

该篇文章我们要求的是子序列而不是子串

公共子序列定义

如果Z既是X的子序列，又是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列

最长公共子序列（以下简称LCS）

2个序列的公共子序列中长度最长的那个

动态规划解决

子问题划分及依赖关系

递推公式

伪代码

利用标记函数追踪解：

代码实现

public class LCS {public static void main(String[] args) {String x = "ABCBDAB";String y = "BDCABA";int m = x.length();int n = y.length();// 动态数组int[][] c = new int[m+1][n+1];// 标记函数数组int[][] b = new int[m+1][n+1];// 上边界赋值为0for (int i=0; i<=n; i++) {c[0][i] = 0;b[0][i] = 0;}// 左边界赋值为0for (int i=0; i<=m; i++) {c[i][0] = 0;b[i][0] = 0;}System.out.println("字符串1：" + x);System.out.println("字符串2：" + y);LCSlength(m, n, x, y, c, b);System.out.println("x,y 的最长公共子序列长度为：" +  c[m][n]);// 倒序输出 公共子序列System.out.println("倒序输出 公共子序列:");LCS(m, n, b, x);}/*** 最长公共子序列*/public static void LCSlength(int m, int n, String x, String y, int[][] c, int[][] b) {for (int i=1; i<=m; i++) {for (int j=1; j<=n; j++) {if (x.charAt(i-1) == y.charAt(j-1)) {   // 若字符相同 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;b[i][j] = 1;    // 1 代表 ↖} else if (c[i][j-1] > c[i-1][j]) { // 字符不同取最大 c[i][j] = max(c[i][j-1], c[i-1][j])c[i][j] = c[i][j-1];b[i][j] = 2;    // 2 代表 ←} else {c[i][j] = c[i-1][j];b[i][j] = 3;    // 3 代表 ↑}}}// 输出所填表System.out.println("输出所填动归表:");for (int i=0; i<=m; i++) {for (int j=0; j<=n; j++) {System.out.print(c[i][j] + " ");}System.out.println();}}/*** 输出 最长公共子序列 倒序输出* @param i* @param j* @param b：标记函数数组* @param x：x字符串*/public static void LCS(int i, int j, int[][] b, String x) {if (i==0 || j==0) {return;}//  1 表示 ↖if (b[i][j] == 1) {System.out.print(x.charAt(i-1) + " ");// 输出该字符LCS(i-1, j-1, b, x);} else if (b[i][j] == 2) {  // 2 表示 ←LCS(i, j-1, b, x);} else {                    // 3 表示 ↑LCS(i-1, j, b, x);}}
}

输出结果：

复杂度分析

时间复杂度： O(mn) 两层循环
空间复杂度： O(mn) 需要一个二维数组的表格

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最长公共子序列 - LCS