算法分析与设计：分支限界法
分支限界法
1. 基本思想
分支是使用广度优先策略，依次生成扩展结点的所有分支。
限界是在结点扩展过程中，计算结点的上界，搜索的同时剪掉某些分支。
分支限界法就是把问题的可行解展开，再由各个分支寻找最佳解。
与回溯法类似，分支限界法也是在解空间中搜索得到解；
不同的是，分支限界法会生成所有扩展结点，并舍弃不可能通向最优解的结点，然后根据广度优先/最小耗费优先，从活结点中选择一个作为扩展结点，使搜索向解空间上有最优解的分支推进。
2. 搜索策略
分支限界法首先生成当前扩展结点的所有分支，然后再从所有活结点中选择一个作为扩展结点。每一个活结点都要计算限界，根据限界情况判断是否剪枝，或选择最有利的结点。
分支限界法有两种不同的搜索空间树方式，分别为广度优先和最小耗费优先，它们对应两种不同的方法：
- 队列式分支限界法(FIFO)
常规的广度优先策略。按照先进先出的原则选取下一个扩展结点，以队列储存活结点。 - 优先队列式分支限界法/最小耗费优先分支限界法(LC)
按照优先队列中指定的优先级，选取优先级最高的结点作为下一个扩展结点，以优先队列储存。
分支限界法的具体搜索策略如下：
- 根结点入队；
- 根据使用的方法(FIFO或LC)，令一个活结点出队，作为扩展结点；
- 对扩展结点，生成所有的分支；使用约束条件舍弃不可行的结点/不可能为最优解的结点，剩余的结点入队；
- 重复2和3，直到找到要求的解或队列为空。
| 方法 | 搜索策略 | 存储结点常用结构 | 结点存储特性 | 应用问题 |
|---|---|---|---|---|
| 回溯法 | 深度优先 | 栈 | 结点可以多次成为扩展结点，所有可行子结点都遍历后才弹出 | 找出满足条件的所有解 |
| 分支限界法 | 广度/LC优先 | 队列/优先队列 | 结点只能成为一次扩展结点，剪枝或扩展后立刻出队 | 找出条件下的某个/最优解 |
3. 分支结点选择
所有界限满足上界/下界的结点都可以作为扩展结点。因此，必须有一个分支选择策略，FIFO法和LC法对应两种策略：
● 按顺序选择结点作为下一次的扩展结点。优点是节省空间，缺点是需要计算的分支数较多，时间花费大；
● 每次计算完限界后，找出限界最优的结点，作为下一次的扩展结点。优点是计算的分支数少，缺点是需要额外空间。
4. 限界函数
限界函数很大程度上决定了算法的效率。同一问题可以设计不同的限界函数。
FIFO分支限界法中，常以约束条件作为限界函数，满足约束条件才可入队，不满足约束条件的舍弃。
LC分支限界法中，还可以设计一个启发函数作为限界函数。
对于有约束的问题，FIFO法和LC法均可以求解；对于无约束问题， 宜使用LC法。
例题：单源最短路径
1. 问题描述
给定带权有向图G，每边的权值是一个正实数，表示点到点的路径距离。给定图中的一个源点V，求图G中所有点到源点V的最短路径。
2. 问题分析
除了用Dijkstra算法(贪心)解决该问题外，也可以使用分支限界法。由于要求的是最短的路径，我们考虑使用优先队列式分支限界法，以减少计算的分支数。显然，我们的限界就是源到目的点的路径长度：若源到同一个顶点有多条路径，将长路径的分支全部舍弃，而保存更短路径的分支。并且由于题目的贪心选择性质，每次从优先队列中取最短路径，最终得到的解也必然是最优的。
为了避免出队列可能造成的异常，并能更有规律地处理优先队列，我们为最小堆构造一个长度等同于顶点个数的结点数组。数组元素的下标对应顶点的编号；数组元素的编号为-1时，代表该结点被删除(出队列)。
3. 算法设计
- 生成根节点的所有分支，全部入队列并记录路径；
- 在队列中选择路径最短的分支作为扩展结点
- 逐个生成分支，并判断分支的路径是否小于记录的最短路径；
- 若不小于，舍弃该分支；
- 若小于，该分支入队列；
- 生成所有分支后，回到2；
- 当队列为空时，算法结束。
4. 算法实现
//单源最短路径class Graph{ //带权有向图
private:int n; //顶点个数int **c; //邻接矩阵int *dist; //记录路径
public:void shortestPaths(int);Graph(); //根据情况构造图
};class MinHeapNode{ //最小堆的结点friend Graph;
private:int i; //结点对应的顶点编号int length; //结点记录的最短路径
public:int getI(){ return i; }void setI(int i){ this->i = i; }int getLength(){ return length; }void setLength(int length){ this->length = length; }
};class MinHeap{ //最小堆(虽然叫堆，但其实并不是用堆实现的)friend Graph;
private:int length; //最小堆的长度，等同于顶点个数MinHeapNode *nodes; //结点数组
public:MinHeap(int n){this->length = n;nodes = new MinHeapNode[n];}void deleteMin(MinHeapNode&); //令当前节点出队列，并给出下一个扩展结点void insertNode(MinHeapNode N) //结点入队列，将原结点的内容替换即可{nodes[N.getI()].setI(N.getI());nodes[N.getI()].setLength(N.getLength());}bool outOfBounds() //检查队列为空{for(int i = 0;i < length;i++)if(nodes[i].getI() != -1)return false;return true;}
};void MinHeap::deleteMin(MinHeapNode &E)
{int j = E.getI();nodes[j].setI(-1);nodes[j].setLength(-1); //标记为出队列int tmp = INT_MAX;for(int i = 0;i < length;i++){ //给出路径最短的结点作为扩展结点if(nodes[i].getI() != -1 && nodes[i].getLength() < tmp){E.setI(i);E.setLength(nodes[i].getLength());tmp = nodes[i].getLength();}}
}void Graph::shortestPaths(int start)
{MinHeap heap = MinHeap(n); MinHeapNode E = MinHeapNode(); //别问，一开始还加了new，太久不写C++了E.i = start; E.length = 0;dist[start] = 0; //初始为源点V,对应编号startwhile(true){for(int j = 0;j < n;j++){ //检查所有邻接顶点if(c[E.i][j] != 0){ //是否邻接if(E.length + c[E.i][j] < dist[j]){ //是否满足限界，当前路径小于记录的最短路径dist[j] = E.length + c[E.i][j]; //更新if(/*填入判断表达式*/){ //没有邻接顶点的点不入队，按情况调整，没有也可以，但会造成无效开销MinHeapNode N = MinHeapNode(); //创建一个新的结点，并令其入队列N.i = j;N.length = dist[j];heap.insertNode(N);}}}}if(heap.outOfBounds()) //队列为空，结束break;heap.deleteMin(E); //该结点已经生成全部分支，出队列并取得下一扩展结点}
}
为使队列为空，while循环总共需要取n个结点；每个结点要对所有结点都进行检查。因此算法的时间复杂度为O(n2)。
分支限界法的套路单一，就只写一道例题了，怎么可能是因为这两天沉迷骑砍呢
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