算法分析与设计-八皇后问题（回溯法）

回溯法：

回溯的意义是在递归直到可解的最小问题后，逐步返回原问题的过程，而这里所说的回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试方法，它的主题思想是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯算法师尝试搜索算法中最基本的一种算法，其采用了一种“走不通就掉头”的思想，作为控制结构。在使用回溯算法解决问题中每向前走一步都有很多路径需要选择，但当没有决策信息或决策信息不充分时，只好尝试某一路径向下走，直至走到一定程度后得知此路不通时，再回溯到上一步尝试其他路径；当然在尝试成功时，则问题得解而算法结束。

回溯法典型例题-八皇后问题：

要在8*8的国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃掉。规则：皇后能吃掉同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。下图为一种方案，求所有的解。

第一种解决方法就是枚举法，这种方法较为简单，共有8^8个状态，但实际搜索当中并不会搜索那么多种状态，因为前面已经说明，回溯法采用的是“走不通就掉头”的策略，所以当我们枚举时候加一些相应的约束条件，可使算法的效率大大提高。

那么怎么确定约束条件呢？

约束条件有三个：

（1）不在同一列，即：xi !=xj（xi ,xj 分别代表第 i ,j 个皇后分别位于第 xi , xj 列）；

（2）不在同一主对角线：xi - i != xj - j；

（3）不在同一副对角线：xi + i ! = xj + j;

（2）和（3）又可以合并为一个“不在同一对角线上”的约束条件，表示为：

abs( xi - xj ) != abs( i - j ) abs（）代表取绝对值。

故得到算法如下

算法一：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int check(int a[ ],int n)
{int i;for(i=1; i<=n-1; i++)if(abs(a[i]-a[n])==abs(i-n)||(a[i]==a[n]))return 0;return 1;
}
int main()
{int a[9];for(a[1]=1; a[1]<=8; a[1]++){for(a[2]=1; a[2]<=8; a[2]++){if(check(a,2)==0)continue;for(a[3]=1; a[3]<=8; a[3]++){if(check(a,3)==0)continue;for(a[4]=1; a[4]<=8; a[4]++){if(check(a,4)==0)continue;for(a[5]=1; a[5]<=8; a[5]++){if(check(a,5)==0)continue;for(a[6]=1; a[6]<=8; a[6]++){if(check(a,6)==0)continue;for(a[7]=1; a[7]<=8; a[7]++){if(check(a,7)==0)continue;for(a[8]=1; a[8]<=8; a[8]++){if(check(a,8)==0)continue;else{for(int i=1; i<=8; i++)printf("%d ",a[i]);printf("\n");}}}}}}}}}
}

枚举算法虽然有很好的可读性，也能从中体会到回溯的思想，但它只能解决“皇后个数为常量”的问题，却不能解决任意的n皇后问题，下面就是典型的非递归回溯算法：

算法二：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[30],n;
bool check(int k)
{for(int i=1; i<k; i++)if(abs(a[i]-a[k])==abs(i-k)||a[i]==a[k])return false;return true;
}
void output()
{for(int i=1; i<=n; i++)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
}
void backdate(int n)
{int k=1;a[1]=0;while(k>0){a[k]++;while(a[k]<=n&&check(k)==false) //为第k个皇后搜索位置a[k]++;if(a[k]<=n){if(k==n)  //找到一组解output();elsea[++k]=0;//下一个皇后要从头开始搜索}elsek--;//回溯}
}
int main()
{cin>>n;backdate(n);
}

递归回溯算法：

我们用b,d,c数组分别来记录棋盘上的n个列，2n-1个主对角线，2n-1个副对角线的占用情况。

说明：

用i,j分别表示皇后所在的行列（或者说i号皇后在j列），同一主对角线上的行列下标的差一样，若用表达式 i-j 编号，则范围是 -n+1 ~ n+1,所以用i-j+n表示主对角线编号，范围就是1~ 2n-1。同样地，副对角线上行列下标的和一样，用表达式i+j编号，则范围2~2n。

算法三：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[20],b[20],c[20],d[20];
int n,t,k;
void output()
{t++;cout<<t<<":";for(int k=1;k<=n;k++)cout<<" "<<a[k];cout<<endl;
}
void tryy(int i)
{for(int j=1;j<=n;j++){if(b[j]==0&&c[i+j]==0&&d[i-j+n]==0){a[i]=j; //摆放皇后b[j]=1; //占领第j列c[i+j]=1; //主对角线d[i-j+n]=1;  //副对角线if(i<n)tryy(i+1); //搜索else //找到一组解output();b[j]=0;c[i+j]=0;d[i-j+n]=0; //重新设置为0}}
}int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){b[i]=0;c[i]=0;c[n+i]=0;d[i]=0;}tryy(1);
}

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