减可变规模算法—中值和选择问题

问题描述：选择问题是求一个n个数列表的第k个最小元素的问题，当k==1或者k ==n，时，可以只扫描整个列表，分别找出最小值或者最大值。

这个问题有意思的是当k=n/2时，它要求找出一个这样的元素，这个元素比前半部分列表的元素都要大，又比后半部分的元素都要小，这个中间的值叫做中值。

这里我们要了解到一个划分的思想，将一个给定的列表根据某个值p进行划分，一般来说，列表元素会重新整理，使得左边部分的元素都是小于p的，紧接着就是中轴p本身，然后是右边部分都是大于p的

划分

Lomuto划分，考虑一个数组—或者更一般的，一个子数组a【l，，，r】，该数组由连续的三段组成，这三段按顺序排在中轴p的后面：
1. 一段为已知小于p的元素
2. 一段已知大于或者等于p的元素
3. 一段未和p比较过的元素
  在算法开始阶段，1，2情况都是空的

从i=l+1，开始，算法从左到右扫描子数组a，并保持这个结构直到划分完成，在每一次迭代中，它把未知段中的第一个元素与中轴p进行比较。

如果a【i】>=p,则i++；，好比扩大了大于等于p元素的段，同时缩小了未处理的段。
如果a【i】<p,则小于p元素的段需要扩大，通过s++实现，s指向第一段中的最后一个元素，在交换a【i】和a【s】，然后i++;使他指向缩小后未处理段的第一个元素。在未处理段为空后，算法把中轴和a【s】交换，就得到了一个我们所要求的划分

C语言实现

int  lomutopartition(int a[],int start,int end)
{int p=a[start];//把数组的第一个元素作为中轴p值int s=start;for(int i=start+1;i<=end;i++)//这里的i++，表示在不停的在遍历未处理段//从i=start+1，开始，算法从左到右扫描子数组a,//在每一次循环中，它把未知段中的第一个元素与中轴p进行比较{if(a[i]<p)//如果未知段的元素小于中轴p，小于p元素的段需要扩大{s++;//扩大，s++swap(a,s,i);//交换a【i】和a【s】}}swap(a,start,s);//未处理段为空，都处理好了，交换中轴p值和a【s】//这里的a【s】是小于p值的段的最后一个元素，所以交换后//中轴p的左边都是小于p的，右边都是大于等于p的。return s;//返回此时中轴的下标
}

如何利用划分列表来寻找第k个最小的元素呢？
假设列表以数组实现，元素的下标索引从0开始，而s是划分的分割位置，也就是划分后中轴所在元素的索引，如果s=k-1，中轴p本身显然就是第k小的元素，问题就解了，如果s>k-1,整个列表的第k小元素就是被划分中轴左边部分子数组的第k小元素，而如果s<k-1,就是中轴右边子数组部分的第（k-1-s）个小元素。因此，即使我们没有彻底解决问题，问题的规模得以变小，这个小实例可以使用同样的方法来解决，就是递归求解

C语言实现：

int  quickselect(int a[],int start,int end,int k)
{int s=lomutopartition(a,start,end);//得到这个中轴的下标sif(s==start+k-1)//如果s==第k-1个位置，那么a【s】就是第k小的数（下标从0开始的）return a[s];else if(s>start+k-1)//如果s>第k-1个位置，那么就从子数组【start，s-1】中去找第k小的数quickselect(a,start,s-1,k);else//如果s<第k-1位置，那么就从子数组【s+1，end】中去找第（start+k-1-s）小的数quickselect(a,s+1,end,start+k-1-s);//关于这里为什么递归的是start+k-1-s，因为这里传递子数组的起始下标是start+k-1.
}
下面举一个例子来

说明，基于划分的思想找出下面9的数列表中的中位数：
4，1，10，8，7，12，9，2，15.这里中位数k=5，任务就是找到数组中第五小的元素，在数组中的下标就是4.

下面给出一组图片说明具体的过程

C语言完整实现

#include<stdio.h>
void swap(int a[],int i,int j)
{int temp=a[i];a[i]=a[j];a[j]=temp;}
int  lomutopartition(int a[],int start,int end)
{int p=a[start];int s=start;for(int i=start+1;i<=end;i++){if(a[i]<p){s++;swap(a,s,i);}}swap(a,start,s);return s;
}
int  quickselect(int a[],int start,int end,int k)
{int s=lomutopartition(a,start,end);if(s==start+k-1)return a[s];else if(s>start+k-1)quickselect(a,start,s-1,k);elsequickselect(a,s+1,end,start+k-1-s);
}
int main()
{int a[]={12,1,20,100,52,10};//处理的数组int start=0;//数组的起始下标为0，int end=5;//数组的结束下标是5int k=5;//找出数组中第5小的数int res;res=quickselect(a,start,end,k); printf("%d",res);return 0;
}

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