主要内容

本节首先引入了坐标系的概念，利用子空间的一组基，将子空间的任意一个向量用这组基来表示。接着引入了子空间的维数的概念，其实质是子空间中任意一组基的个数。并讨论了矩阵列空间的维数（也称作秩）和零空间的维数及二者之间的关系。

坐标系

根据上一节的定义，子空间 H H H中的一组基是线性无关的。由于基是线性无关的，所以 H H H中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一形式。
证：

假设 β = { b 1 , ⋯ , b p } \beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\} β={b1,⋯,bp}是 H H H的基， H H H中的一个向量 x \boldsymbol x x可以由两种方式生成，设：
x = c 1 b 1 + ⋯ + c p b p \boldsymbol x=c_1\boldsymbol b_1 + \cdots+c_p\boldsymbol b_p x=c1b1+⋯+cpbp
x = d 1 b 1 + ⋯ + d p b p \boldsymbol x = d_1\boldsymbol b_1 + \cdots + d_p\boldsymbol b_p x=d1b1+⋯+dpbp
两式相减得：
0 = ( c 1 − d 1 ) b 1 + ⋯ + ( c p − d p ) b p \boldsymbol 0 = (c_1 - d_1)\boldsymbol b_1 + \cdots + (c_p - d_p)\boldsymbol b_p 0=(c1−d1)b1+⋯+(cp−dp)bp
由于 β \beta β是线性无关的，所以上式中的系数必全为0，因此 H H H中的一个向量只能通过基的唯一组合进行表示。

定义：

假设 β = { b 1 , ⋯ , b p } \beta = \{\boldsymbol b1,\cdots,\boldsymbol b_p\} β={b1,⋯,bp}是子空间 H H H的一组基，对 H H H中的每一个向量 x \boldsymbol x x，相对于基 β \beta β的坐标是使 x = c 1 b 1 + ⋯ + c p b p \boldsymbol x = c_1\boldsymbol b_1 + \cdots + c_p\boldsymbol b_p x=c1b1+⋯+cpbp成立的权 c 1 , ⋯ , c p c_1, \cdots, c_p c1,⋯,cp，其 R p \mathbb R^p Rp中的向量
[ x ] β = [ c 1 . . . c p ] {[\boldsymbol x]}_\beta = \begin{bmatrix}c_1 \\ ... \\ c_p\end{bmatrix} [x]β=⎣⎡c1...cp⎦⎤
称为 x \boldsymbol x x（相对于 β \beta β）的坐标向量，或 x \boldsymbol x x的 β − \beta- β−坐标向量。

例：

设 v 1 = [ 3 6 2 ] \boldsymbol v_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix} v1=⎣⎡362⎦⎤， v 2 = [ − 1 0 1 ] \boldsymbol v_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} v2=⎣⎡−101⎦⎤， x = [ 3 12 7 ] \boldsymbol x = \begin{bmatrix}3 \\ 12 \\7\end{bmatrix} x=⎣⎡3127⎦⎤， β = { v 1 , v 2 } \beta = \{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\} β={v1,v2},。由于 v 1 \boldsymbol v_1 v1, v 2 \boldsymbol v_2 v2线性无关，故 β \beta β是 H = S p a n { v 1 , v 2 } H=Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\} H=Span{v1,v2}的一组基。判断 x \boldsymbol x x是否在 H H H中，如果是，求 x \boldsymbol x x相对于基 β \beta β的坐标向量。

解：

问题的实质是判断下面的方程是否相容：
c 1 [ 3 6 2 ] + c 2 [ − 1 0 1 ] = [ 3 12 7 ] c_1\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix} c1⎣⎡362⎦⎤+c2⎣⎡−101⎦⎤=⎣⎡3127⎦⎤
经计算， c 1 = 2 c_1=2 c1=2， c 2 = 3 c_2=3 c2=3， [ x ] β = [ 2 3 ] [\boldsymbol x]_\beta = \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} [x]β=[23]。基 β \beta β确定 H H H上的一个坐标系，如下图所示：

注意到，虽然 H H H中的点也在 R 3 \mathbb R^3 R3中，但它们完全由属于 R 2 \mathbb R^2 R2的坐标向量确定。映射 x → [ x ] β \boldsymbol x \rightarrow[\boldsymbol x]_\beta x→[x]β是 H H H和 R 2 \mathbb R^2 R2之间保持线性组合关系的一一映射，我们称这种映射是同构的，切 H H H与 R 2 \mathbb R^2 R2同构。

一般的，如果 β = { b 1 , ⋯ , b p } \beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\} β={b1,⋯,bp}是 H H H的基，则映射 x → [ x ] β \boldsymbol x\rightarrow [\boldsymbol x]_\beta x→[x]β是使 H H H和 R p \mathbb R^p Rp的形态一样的一一映射，尽管 H H H中的向量可能有多于 p p p个元素。

子空间的维数

定义：

非零子空间 H H H的维数（用 d i m H dim H dimH表示）是 H H H的任意一个基的向量个数。零子空间 { 0 } \{\boldsymbol 0\} {0}的维数定义为零。

R n \mathbb R^n Rn空间维数为 n n n， R n \mathbb R^n Rn的每个基由 n n n个向量组成。 R 3 \mathbb R^3 R3中一个经过 0 \boldsymbol 0 0的平面是二维的，一条经过 0 \boldsymbol 0 0的直线是一维的。

例：

在前一章的内容中，我们观察到，矩阵 A A A的零空间的基的数量对应于方程 A x = 0 A\boldsymbol x = \boldsymbol 0 Ax=0中自由变量的数量，因此，要确定 N u l A Nul \ A Nul A的维数，只需求出 A = 0 A\boldsymbol =\boldsymbol 0 A=0中自由变量的个数。

定义：

矩阵 A A A的秩（记为 r a n k A rank A rankA）是 A A A的列空间的维数。

因为 A A A的主元列形成 C o l A Col \ A Col A的一个基，故 A A A的秩正好是 A A A的主元列的个数。
例：

确定下列矩阵的秩：
A = [ 2 5 − 3 − 4 8 4 7 − 4 − 3 9 6 9 − 5 2 4 0 − 9 6 5 − 6 ] A=\begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\4&7&-4&-3&9\\6&9&-5&2&4\\0&-9&6&5&-6\end{bmatrix} A=⎣⎢⎢⎡2460579−9−3−4−56−4−325894−6⎦⎥⎥⎤

解：

A A A经过行化简，其阶梯形矩阵为：
[ 2 5 − 3 − 4 8 0 − 3 2 5 − 7 0 0 0 4 − 6 0 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\0&-3&2&5&-7\\0&0&0&4&-6\\0&0&0&0&0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡20005−300−3200−45408−7−60⎦⎥⎥⎤
可见， A A A有三个主元列（第1，2，4列），因此 r a n k A = 3 rank \ A = 3 rank A=3

从这个例子中还可以看到，方程 A x = 0 A\boldsymbol x=\boldsymbol 0 Ax=0有两个自由变量（由于 A A A的五列中只有三个主元列），因此得出如下关系：
定义：

如果一矩阵 A A A有 n n n列，则 r a n k A + d i m N u l A = n rank \ A + dim \ Nul \ A = n rank A+dim Nul A=n

上述定理被称作秩定理。

下面的定理被称为基定理

设 H H H是 R n \mathbb R^n Rn的 p p p维子空间， H H H中的任何恰好由 p p p个元素组成的线性无关集构成 H H H的一个基。并且， H H H中任何生成 H H H的 p p p个向量集也构成 H H H的一个基。

秩与可逆矩阵定理

子空间基的线性无关性质可以与逆矩阵发生一些关联，下面是逆矩阵与本节知识关联得到的一些推论

定理：

设 A A A是一 n × n n \times n n×n矩阵，则下面的每个命题与 A A A是可逆矩阵的命题等价：
a. A A A的列向量构成 R n \mathbb R^n Rn的一个基
b. C o l A = R n Col \ A = \mathbb R^n Col A=Rn
c. d i m C o l A = n dim \ Col \ A = n dim Col A=n
d. r a n k A = n rank \ A = n rank A=n
e. N u l A = { 0 } Nul \ A = \{\boldsymbol 0\} Nul A={0}
f. d i m N u l A = 0 dim \ Nul \ A = 0 dim Nul A=0

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