关于单群的一些知识扩展
人的记忆是很奇怪的东西,越是拼命要记住的往往会很快忘记。去年十二月份才开始PKU研究生入学考试20年的数学真题,时隔快一年了,很多东西却记忆犹新。
下面分析,扩展下常会考到的一个特殊群,单群:
有限单群:
对于一个有限群G,当g为群G的任意元素,用g来左乘(例如若对A,就意味着gA)每一个元素的结果组成的集合与用g右乘(如Ag)每一个元素的结果组成的集合总是相同的,那么称这个有限群G是正规的。 假如对一个已知有限群G的所有子群,只有它本身与不变群(只有单位元素的群)是正规的,那么称它是一个有限单群。
--------------------------------------------------------------------- 有限单群分为四大类(素数p 阶循环群Zp,交错群,李型单群和李型群,零散单群)
素数p 阶循环群Zp
交错群
李型单群和李型群:李型群是复数域上单李群在有限域上的相似物,不全是单群。它包括有限域上某些典型群、例外群和扭群。前两者也称为谢瓦莱群,共有9个族,它们的记号是Aq),n≥1;Bq),n>1;Cnq),n>2;Dnq),n>3;G2q);F4q);E6q);E7(q);E8q)。这q=pm,p是素数。以下的q也有此意义。 除了A1(2)、A1(3)、B2(2)、G2(2)外,这些群对其中心的商群都是有限单群。这些群中的大部分,E.伽罗瓦、C.若尔当、L.E.迪克森等已早有研究。直到1955年,C.谢瓦莱对任意有限域 GFq)构造出复数域上单李群的相似物,用统一的方法证明了这些群的存在性、单纯性和其他性质。 扭群共七族,它们是2An(),n>1;2B2(),=2;2Dn(),n>3;3D4(q);2G2(),=3;2F4(),=2;2E6()。除了2A2(2)、2B2(2)、2G2(3)、2F4(2)外,它们都是单群。而2F4(2)的换位子群(2F4(2))┡还是不在以上几族中的一个特殊单群。 利用谢瓦莱群的图自同构和域自同构可以统一地得到所有扭群,如R.施坦伯格、铃木通夫、R.雷和J.蒂茨等人的工作。 在以上群中An()、Bn()、Cn()、2An()分别同构于GF()上的典型群PSLn+1()、PΩ2n+1()、PSP2n()和PSUn()。而Dn()和2Dn()分别同构于和(对每个 有两族2n维的正交群,以“+”和“-”两个符号来区别)。谢瓦莱群中的G2()、F()、E6()、E7()、E8()则是例外群。
零散单群:凡不属于以上三类的有限单群, 称为零散单群,共有26个。É.L.马蒂厄于1860年和1873年先后得到5个多重传递置换群M11(4重)、M12(5重)、M22(3重)、M23(4重)和M24(5重),它们都是零散单群。一百年之后,Z.简科于1965年才发现了另一个新的零散单群,记为J1。尔后陆续地发现了所有的零散单群,仿照前者,一般以重要发现者的姓的前面字母来记各零散单群,若同一人发现多于一个这样的群时则加上数字的下标,它们是
公式
最大的零散单群为F1,名为怪物群或魔群,它的阶为 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71,约为1054。G.格里斯用手算,从47·59·71=196883维的线性表示而得到F1。它有着良好的内在的几何结构,并且有20个左右的零散单群作为它的子群,所以并不是什么怪物,G.格里斯改称它为“友好巨人”。
综述
历史发展
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