[蓝桥杯 2021 省 B] 杨辉三角形

题目描述

下面的图形是著名的杨辉三角形:

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：

1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1, \ldots1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…

给定一个正整数 NNN，请你输出数列中第一次出现 NNN 是在第几个数。

输入格式

输入一个整数 NNN 。

输出格式

输出一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

对于 20%20 \%20% 的评测用例, 1≤N≤101 \leq N \leq 101≤N≤10;

对于所有评测用例, 1≤N≤1091 \leq N \leq 10^91≤N≤109 。

蓝桥杯 2021 第一轮省赛 B 组 H 题。

思路

首先明确杨辉三角形中第i行第j列的数可以表示成组合数 c(i,j)的形式
由于杨辉三角左右对称，显然左边的数更小，所以去除右边的数1 1   2  ---> C(2, 1)1   3                             ---> C(2n, n)1   4   6  ---> C(4, 2)1   5   10
1   6   15  20 ---> C(6, 3)性质：1. 每一斜行从上到下递增，且每一斜行的第一个值为 C(2n, n)2. 每一横行从中间到两边依次递减3. 第（i+1）斜行每个数一定大于第i个斜行每个数要查找的数N<=1e9
C(34, 17) > 1e9, C(32, 16) < 1e9，因此只要枚举前16个斜行即可当查找某个数什么时候第一次出现时
只需要倒序查找它在哪个斜行（16个，枚举即可）
再在此斜行中找出>=它的第一个数
（在斜行中查找，每一斜行递增，可以利用二分）
即可求出它最先出现的地方

二分

k表示第k个斜行，（从0开始）
二分的左右端点：l：2k，r：max(n, l)右端点一定不能比左端点小！特例：否则当n=1时，会出问题！

确定答案

找出斜行中的第几个数
如何确定它在杨辉三角中位于第几个数
杨辉三角第一行1个数第二行2个数...第i行i个数C(r, k)对应的顺序值为：(r + 1) * r / 2 + k + 1

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long ll;
int n;//求组合数
ll c(int a,int b)
{ll res=1;for(int i=a,j=1;j<=b;i--,j++){res=res*i/j;if(res>n) return res; }return res;
}bool check(int k)
{ll l=k*2,r=max(ll(n),l);while(l<r) {ll mid=l+r>>1;if(c(mid,k)>=n) r=mid;else l=mid+1;}if(c(r,k)!=n) return false;cout<<r*(r+1)/2+k+1<<endl;return true;
}
int main()
{cin>>n;for(int k=16;;k--)if(check(k)) break;return 0;
}

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