2018年高考已经结束,从全国卷1理科卷来看,出题中规中矩,覆盖知识点比较全面,难度并不是很大.若平时复习不是打酱油的话,很多基础题是没有问题的.

填空题第16题以三角函数为载体,考查求最值问题,考生可以有不同的切入角度,从而有不同的解题方法,体现出学生思维灵活性的差异,对学生可能有难度,部分学生可能会直接去化简合并,但不会成功;直接求导讨论函数的极值点会成功.

已知函数 f(x)=2sinx+sin2x, f ( x ) = 2 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x , f(x)=2\sin x+\sin 2x, 则 f(x) f ( x ) f(x)的最小值是 _ .

01常规求导法

首先说的是常规求导法，即求出函数的导数，令导数为0，求出极值，极值与区间端点处的函数值进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值，当然在具体处理时还有一些细节方面的注意，比如不可导点也应该考虑进来，有时不需要求出极值点，只需求出极值点满足的条件.

显然, f(x) f ( x ) f(x)的周期为 2π 2 π 2\pi,所以可以在一个周期 [0,2π) [ 0 , 2 π ) [0,2\pi)内讨论,
f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x−1) f ′ ( x ) = 2 cos ⁡ x + 2 cos ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ x + 2 ( 2 cos 2 ⁡ x − 1 ) f^\prime(x)=2\cos x+2\cos2x=2\cos x+2(2\cos^2x-1)

=2(2cos2x+cosx−1)=2(2cosx−1)(cosx+1) = 2 ( 2 cos 2 ⁡ x + cos ⁡ x − 1 ) = 2 ( 2 cos ⁡ x − 1 ) ( cos ⁡ x + 1 ) =2(2\cos^2x+\cos x-1)=2(2\cos x-1)(\cos x+1)

令 f′(x)=0, f ′ ( x ) = 0 , f^\prime(x)=0,得 cosx=−1, cos ⁡ x = − 1 , \cos x=-1,或 cosx=12. cos ⁡ x = 1 2 . \cos x=\dfrac12.

在 [0,2π) [ 0 , 2 π ) [0,2\pi)内, f(x) f ( x ) f(x)的最小值只能在使得
cosx=1,cosx=−1,cosx=12 cos ⁡ x = 1 , cos ⁡ x = − 1 , cos ⁡ x = 1 2 \cos x=1,\cos x=-1,\cos x=\dfrac{1}{2}
的这些点处取到.对应的 sinx sin ⁡ x \sin x的值依次是
sinx=0,sinx=0,sinx=±3–√2. sin ⁡ x = 0 , sin ⁡ x = 0 , sin ⁡ x = ± 3 2 . \sin x=0,\sin x=0,\sin x=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}.
显然， f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx) f ( x ) = 2 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x ) f(x)=2\sin x+\sin 2x=2\sin x(1+\cos x)的最小值为
2⋅(−3–√2)⋅(1+12)=−33–√2. 2 ⋅ ( − 3 2 ) ⋅ ( 1 + 1 2 ) = − 3 3 2 . 2\cdot(-\dfrac{\sqrt3}{2})\cdot(1+\dfrac12)=-\dfrac{3\sqrt3}{2}.

02均值不等式法

拿到这个题目，求导法是第一思路，除了这个思路还有其他方法吗？均值不等式也是常用的方法，但这个题目也要先变形一下.

f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx) f ( x ) = 2 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x ) f(x)=2\sin x+\sin 2x=2\sin x(1+\cos x)

=4sinx2cosx2(2cos2x2)=8sinx2cos3x2 = 4 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 ( 2 cos 2 ⁡ x 2 ) = 8 sin ⁡ x 2 cos 3 ⁡ x 2 =4\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2(2\cos^2\dfrac x2) =8\sin\dfrac x2\cos^3\dfrac x2
记 a=sinx2,b=cosx2, a = sin ⁡ x 2 , b = cos ⁡ x 2 , a=\sin\dfrac x2,b=\cos\dfrac x2,
问题转化为求 8ab3 8 a b 3 8ab^3在 a2+b2=1 a 2 + b 2 = 1 a^2+b^2=1条件下的最小值.

1=a2+b2=b23+b23+b23+a2 1 = a 2 + b 2 = b 2 3 + b 2 3 + b 2 3 + a 2 1=a^2+b^2=\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{b^2}{3}+a^2

⩾4⋅b23⋅b23⋅b23⋅a2−−−−−−−−−−−−−√4 ⩾ 4 ⋅ b 2 3 ⋅ b 2 3 ⋅ b 2 3 ⋅ a 2 4 \geqslant 4\cdot\sqrt[4]{\dfrac{b^2}{3}\cdot\dfrac{b^2}{3}\cdot\dfrac{b^2}{3}\cdot a^2}
∴(b23)3⋅a2⩽(14)4 ∴ ( b 2 3 ) 3 ⋅ a 2 ⩽ ( 1 4 ) 4 \therefore\left(\dfrac{b^2}{3}\right)^3\cdot a^2\leqslant (\dfrac14)^4
a2b6⩽3344,ab3⩾−33–√16,min8ab3=−33–√2 a 2 b 6 ⩽ 3 3 4 4 , a b 3 ⩾ − 3 3 16 , min 8 a b 3 = − 3 3 2 a^2b^6\leqslant\dfrac{3^3}{4^4},ab^3\geqslant -\dfrac{3\sqrt3}{16},\min8ab^3=-\dfrac{3\sqrt3}{2}
其实得到不等式后，后面的可以不用算，直接看取等号条件是
b2=3a2,∴a2=14,b2=34, b 2 = 3 a 2 , ∴ a 2 = 1 4 , b 2 = 3 4 , b^2=3a^2,\therefore a^2=\dfrac14,b^2=\dfrac34,从而
min8ab3=−8⋅12⋅(3–√2)3=−33–√2. min 8 a b 3 = − 8 ⋅ 1 2 ⋅ ( 3 2 ) 3 = − 3 3 2 . \min 8ab^3=-8\cdot\dfrac12\cdot(\dfrac{\sqrt3}{2})^3=-\dfrac{3\sqrt3}{2}.

03琴生不等式法

如果知道琴生不等式，用它来做本题，也是不错的，但是似乎有点超纲了，不过幸亏不是解答题啦.

已知函数 f(x) f ( x ) f(x)为奇函数,周期为 2π, 2 π , 2\pi,
根据函数 y=2sinx y = 2 sin ⁡ x y=2\sin x和 y=sin2x y = sin ⁡ 2 x y=\sin 2x图像，只需考虑函数 f(x) f ( x ) f(x)在 [0,π2] [ 0 , π 2 ] [0,\dfrac{\pi}{2}]上的最大值.最大值的相反数就是所求最小值.

函数 sinx sin ⁡ x \sin x在 [0,π2] [ 0 , π 2 ] [0,\dfrac{\pi}{2}]上是上凸函数，根据琴生不等式可得

f(x)=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π−2x) f ( x ) = 2 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x = sin ⁡ x + sin ⁡ x + sin ⁡ ( π − 2 x ) f(x)=2\sin x+\sin 2x=\sin x+\sin x+\sin(\pi-2x)

⩽3sinx+x+(π−2x)3=33–√2, ⩽ 3 sin ⁡ x + x + ( π − 2 x ) 3 = 3 3 2 , \leqslant 3\sin\dfrac{x+x+(\pi-2x)}{3}=\dfrac{3\sqrt3}{2},
取等号条件为 x=π−2x, x = π − 2 x , x=\pi-2x,即 x=π3. x = π 3 . x=\dfrac{\pi}{3}.
∴minf(x)=−33–√2. ∴ min f ( x ) = − 3 3 2 . \therefore \min f(x)=-\dfrac{3\sqrt3}{2}.

顺便再啰嗦几句，介绍一下上凸函数和琴生不等式.

上凸函数的概念：

如果函数 f(x) f ( x ) f(x)满足对定义域上任意两个数 x1,x2 x 1 , x 2 x_1,x_2都有

f(x1+x22)⩾f(x1)+f(x2)2 f ( x 1 + x 2 2 ) ⩾ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\geqslant \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}

那么 f(x) f ( x ) f(x)为上凸函数，函数图像开口向下.

琴生不等式：

如果函数 f(x) f ( x ) f(x)是区间上的上凸函数，则对任意的 x1,x2,⋯,xn x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n
f(x1+x2+⋯+xnn)⩾f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n f ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ) ⩾ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + ⋯ + f ( x n ) n f\left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)\geqslant \dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}

等号当且仅当 x1=x2=⋯=xn x 1 = x 2 = ⋯ = x n x_1=x_2=\cdots=x_n时取得.

04几何图形法

几何图形法是我突然想到的，用来做填空题也是比较迅速的，请看.

f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx) f ( x ) = 2 sin ⁡ x + sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x ( 1 + cos ⁡ x ) f(x)=2\sin x+\sin 2x=2\sin x(1+\cos x)

记 a=sinx,b=1+cosx, a = sin ⁡ x , b = 1 + cos ⁡ x , a=\sin x,b=1+\cos x,
问题转化为求 2ab 2 a b 2ab在 a2+(b−1)2=1 a 2 + ( b − 1 ) 2 = 1 a^2+(b-1)^2=1条件下的最小值.

如图所示，显然符合要求的点 (a,b) ( a , b ) (a,b)在第二象限，设为 A A A，
AD⊥x" role="presentation" style="position: relative;">AD⊥xAD⊥xAD\perp x轴， AE⊥y A E ⊥ y AE\perp y轴， B B B为A" role="presentation" style="position: relative;">AAA点关于 y y y轴的对称点，
则|ab|" role="presentation" style="position: relative;">|ab||ab|\vert{ab}\vert为四边形 ADOE A D O E ADOE的面积，也为三角形 AOB A O B AOB的面积，
根据圆的内接三角形中等边三角形面积最大，
得 |ab| | a b | \vert{ab}\vert的最大值为 33–√4, 3 3 4 , \dfrac{3\sqrt3}{4},
从而 2ab 2 a b 2ab的最小值为 −2⋅33–√4=−33–√2, − 2 ⋅ 3 3 4 = − 3 3 2 , -2\cdot\dfrac{3\sqrt3}{4}=-\dfrac{3\sqrt3}{2},

我的讲解结束了，你用的是那种方法呢？请告诉我。转载是一种动力分享是一种美德。

2018年高考数学全国卷1第16题的18般武艺相关推荐

2018四川高考数学(全国卷3)理科21题以泰勒公式为命题背景(同时深挖去年高考题)和它的另类解法的瞎谈...
已知\(f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x\) (2)若\(x=0\)是\(f(x)\)的极大值点,求实数\(a\)的值. 其实该问可以写的更简洁一点,那个"大" ...
基于2022高考数学全国卷I概率题解题思路初步分析新冠病毒疫苗
基于2022高考数学全国卷I概率题解题思路初步分析新冠病毒疫苗 1. 2022高考数学全国卷I概率题 2. 卡方(χ2\chi^2χ2)检验原理回顾 3. 解答2022高考数学全国卷I概率题 4. 上 ...
c++ 判断数学表达式有效性_2009年高考数学上海卷难度如何？独特的题型设计，让你耳目一新...
在目前实行的数学高考制度中,全国卷是12道选择题,4道填空题:江苏卷是14道填空题,没有选择题:浙江卷是10道选择题,7道填空题:北京卷和天津卷则是8道选择题,6道填空题.我们可以发现,有选择题的试卷 ...
文治者必有武备不然长大了挨欺负_2017届高考语文全国卷文言文专题阅读15篇(附答案)...
2017届高考语文全国卷文言文专题阅读15篇(附答案) 1.阅读下面这篇文言文,完成问题. 高永能,字君举,世为绥州人.初,伯祖文呸举州来归,即拜团练使,已而弃之北迁,其祖文玉独留居延州,至永能始家青 ...
2021高考物理成绩查询,教育部考试中心：2021年高考物理全国卷试题评析
2021年高考物理全国卷命题贯彻落实<深化新时代教育评价改革总体方案>要求,依托高考评价体系,强化基础性考查,优化情境设计,增强试题灵活性,深化关键能力考查,充分发挥高考命题的育人功能和积 ...
2019高考数学理科Ⅱ卷解析版[选填题]
前言与2018年相比,选择填空题增加1道数学文化.1道概率:减少三视图.线性规划.流程图.排列组合和二项式定理模块: 一.选择题例1[2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第1题] 分析: 解析: 解 ...
2019高考数学理科Ⅱ卷解析版[解答题]
前言解答题的顺序变化是比较大的,而且压轴题目也发生了变化. 三.解答题例17[2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第17题]如图,长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的底面\(ABCD\ ...
高考数学知识点：数列压轴小题秒杀技巧
我们今天讲一下数列压轴小题秒杀技巧课程.那么我们今天想三道题目,第一道题目来源于全国卷高考试题难度并不大,第二题和第三题的难度很大. 如果同学选择常规解答,你可能在短短五分钟内这个答案你是选不出来的, ...
[肖博数学]高考数学二轮复习方法解析几何题难点突破专题
解析几何解答题是整套试卷的把关题,也是同学们得分的冲关题.通常涉及直线与圆锥曲线的位置关系.最值及范围.定点.定值等一系列的问题. 解析几何型解答题,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解时除了运用设 ...

2018年高考数学全国卷1第16题的18般武艺

01常规求导法

02均值不等式法

03琴生不等式法

04几何图形法

2018年高考数学全国卷1第16题的18般武艺相关推荐

最新文章

热门文章