Graph Search
- Graph Search Basis
- - Configuration Space
  - Search-based Method
  - Graph Search Overview
  - Graph Traversal
  - - Breadth First Search (BFS) vs. Depth First Search (DFS)
    - Depth First Search (DFS)
    - Breadth First Search (BFS)
    - BFS vs. DFS: which one is useful?
- Heuristic search
- - Greedy Best First Search
- Dijkstra and A*
- - Costs on Actions

Graph Search

包含以下四部分：

Graph Search Basis
Dijkstra and A*
Jump Point Search
Homework

Graph Search Basis

Configuration Space

C-空间： 可以阅读机器人学书籍学习，该知识针对机械臂这类高维空间里的运动规划很重要。
思想： 简单而言，就是为了将机器人描述为空间（不一定是欧式空间，可以是非欧式空间的表达）中的一个点。

Search-based Method

• Graphs have nodes and edges.
• State space graph: a mathematical representation of a search algorithm.

For every search problem, there’s a corresponding state space graph.
Connectivity between nodes in the graph is represented by (directed
or undirected) edges.

使用栅格地图表示图，栅格地图本身可以作为图：
Grid-based graph: use grid as vertices and grid connections as edges

使用PRM采样生成图：

Graph Search Overview

The search always start from start state XsX_{s}Xs

Searching the graph produces a search tree
Back-tracing a node in the search tree gives us a path from the start state to that node
For many problems we can never actually build the whole tree, too large or inefficient – we only want to reach the goal node asap.

将图转换为树结构

算法三个步骤：

• Maintain a container to store all the nodes to be visited
• The container is initialized with the start state Xs
• Loop1. Visit：Remove a node from the container according to some pre-defined score function- Visit a node2. Expansion: Obtain all neighbors of the node- Discover all its neighbors3. Add：Push them (neighbors) into the container
• End Loop

算法的三个问题：
• Question 1: When to end the loop?

Possible option: End the loop when the container is empty
除了上述的，可以采取不同的终止条件，比如到达目的地。

• Question 2: What if the graph is cyclic?

When a node is removed from the container (expanded / visited), it should never be added back to the container again
因此，在程序中，除了维护一个储存将来所有可能会访问的节点的container，还维护一个储存已访问点的container。

• Question 3: In what way to remove the right node such that
the goal state can be reached as soon as possible, which
results in less expansion of the graph node.

解决这个问题就是我们算法的关键：效率，快速。

Graph Traversal

图的遍历是算法的基础。
目前常见的两种算法是深度优先搜索和宽度优先搜索。

Breadth First Search (BFS) vs. Depth First Search (DFS)

两种遍历方法对比如下：

BFS的容器模型是队列（queue），遵循先进先出原则。所以，先进的节点会先出来。
DFS的容器模型是栈（stack），遵循后进先出原则。所以，后进的节点会先出来。

Depth First Search (DFS)

DFS在搜索中的原理

Breadth First Search (BFS)

BFS在搜索中的原理

BFS vs. DFS: which one is useful?

DFS vs. BFS在搜索中的对比

BFS在遍历到目标时，可通过回溯找到最短路径。为什么是最短路径？从图BFS在搜索中的原理 可知，BFS从顶层逐层搜索下层，因此，最终回溯到的路径将是最短的。
DFS “一路走到黑”，搜索到目标时便停止搜索，当存在多条目标路径时，很有可能搜索出来的目标路径是非优的甚至很差。
因此，后面的算法会以BFS为基础遍历节点。

Heuristic search

启发式算法，以贪心算法为例。
启发式算法与DFS、BFS区别：

BFS and DFS pick the next node off the frontiers based on which was “first in” or “last in”.
Greedy Best First picks the “best” node according to some rule, called a heuristic.

Greedy Best First Search

Definition: A heuristic is a guess of how close you are to the target.
guess: 在找到解之前，我们无法得知实际的最近距离，所以，只是一种当下猜想。

对于上图，加入我们想要猜测期待到最短的距离，通常可以采用两种方法
欧氏距离（Euclidean Distance）：直线
曼哈顿距离（Manhattan Distance）：▲x + ▲y

启发式算法的好处：

A heuristic guides you in the right direction.
A heuristic should be easy to compute.

问题：
如何设计一个好用的启发式函数呢？

对比上面两种情况来看，在复杂情况下（障碍物）贪心算法不一定能找到很好的路径。但这并不意味着贪心算法毫无用处，我们仍然可以借鉴它的思想设计出更好的启发式算法。

Dijkstra and A*

Costs on Actions

A practical search problem has a cost “C” from a node to its neighbor
• Length, time, energy, etc.
When all weight are 1, BFS finds the optimal solution
For general cases, how to find the least-cost path as soon as possible？

在之前的算法里，我们没有考虑边的代价问题。为了解决这个问题，提出了Dijkstra and A*算法。

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