汉明码原理解析(清晰实例讲解)

1.汉明码实质及原理

汉明码实质上是多重奇偶校验，其实现原理是：在有效信息位中加入几个校验位形成汉明码，使码距比较均匀的拉大。具有检验并纠正一位错误的能力。

2.核心公式介绍

2^k >= N+K+1

其中，K代表校验位的位数，N代表信息位的位数

下面是 信息位N值与校验位K值的对应关系表(重要)

信息码位数(N)	1	2~4	5~11	12~26	27~57	58~120
校验码位数(M)	2	3	4	5	6	7

3.确定校验位的位置

根据上表确定校验码位数之后，将它插入到信息码中(这里信息码用D表示，校验码用P表示)，规则是：

校验码Pi 必须是在2的i-1次方位置，即只能放在H1，H2，H4，H8…
这里指的位置都是从右向左排序（信息码和校验码都一样）

举个例子，现有一个4位信息码(D1,D2,D3,D4)，它的排列是这样的：

D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1

知道位置之后，下一步就是确定校验位的值了

4.确定校验位的值(核心）

我之前是卡在这一步了，我觉得大部分博客没有直观的将这部分相关的知识讲到位，都是含糊其辞，其实用对方法后，是很简单的，下面是确定校验位值的思路：

根据校验位的位数，确定每个位置占用的校验位号
根据参与校验的信息位的位置，确定信息位的值(异或计算)

下面通过一个例子介绍，现在有一个二进制编码1011(D1,D2,D3,D4)，求它的汉明码

首先确定校验位的位数及位置

信息码共4位，校验码通过公式计算为3位，一共7位，排列如下

D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1

它的校验位的对应表如下：

位置(从右至左)	占用的校验位号	备注
1	1	1=1
2	2	2=2
3	1，2	3=1+2
4	4	4=4
5	1，4	5=1+4
6	2，4	6=2+4
7	1，2，4	7=1+2+4

确定校验位的值(敲黑板)

确定各校验码的参与校验位的信息位的位置，如下表

校验码名称(位置)	参与校验码的信息位的位置
P1 (位置为1)	1，3，5，7 (1出现过的位置)
P2 (位置为2)	2，3，6，7 (2出现过的位置)
P3 (位置为4)	4，5，6，7 (4出现过的位置)

现在就可以根据上表确定各校验位的值了(异或运算)：

P1 = D1⊕D2⊕D4 = 1⊕0⊕1 = 0

P2 = D1⊕D3⊕D4 = 1⊕1⊕1 =1

P3 = D2⊕D3⊕D4 = 1⊕0⊕1 = 0

异或运算简单来说，就是两个相同的数结果为0，不同的数结果为1，这里看1的个数就成，偶数为0，奇数就是1

所以生成的海明码为

D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1

1 1 0 0 1 1 0

5.汉明码纠正

假设传输中H6(D3)发生了错误，原码就变为：

1 0 0 0 1 1 0

检错过程很简单，将接收到的码字重新进行奇偶校验 ：

S1 = P1⊕D1⊕D2⊕D4 = 0⊕1⊕0⊕1 = 0

S2 = P2⊕D1⊕D3⊕D4 = 1⊕1⊕0⊕1 = 1

S3 = P3⊕D2⊕D3⊕D4 = 0⊕0⊕0⊕1 = 1

所以真值为S3,S2,S1，即110，转换为十进制为6，即第六位发生了错误，纠正

1 1 0 0 1 1 0