傅里叶变换 ~ 基 2 时间抽取 FFT 算法

2024-05-29 18:57:57

文章目录

1、基2时间抽取FFT算法原理
2、基2时间抽取FFT算法流图
- 2.1、示例1 ~ 4点的序列表示成两个2点的DFT
- 2.2、示例2 ~ 8点的序列表示成两个2点的DFT
- 2.3、实例演示
3、基2时间抽取FFT算法流图特点
- 3.1、蝶形图的关系
- 3.2、旋转因子的规律
- 3.3、序列关系
- 3.4、原位运算
4、基2时间抽取FFT算法的复杂度

1、基2时间抽取FFT算法原理

将一个长序列的DFT，表达为2个短序列的DFT。按照奇偶下标进行拆分，原理如下图所示：

注意：采用基 2 时间抽取方法的 N 必须是2的整次幂。

上面推导不仅使用了周期性，还使用了对称性：

所以就可以得到短序列合成长序列的DFT：

对于基2的时间抽取，分解到最后一级，就是两点的时域序列，两点序列求DFT，用下面的表达式：

然后再不断合成，2点合成4点，4点合成8点，不断向回推。对于基2的时间抽取，只有一级是实现时域到频域的转化，剩下的其他运算，都是利用短序列的 DFT 来合成长序列的 DFT 。
上图的两个矩阵是一样的，为后面实现 DFT 的流图能够统一奠定了基础。右边的图是为了辅助理解的。

2、基2时间抽取FFT算法流图

2.1、示例1 ~ 4点的序列表示成两个2点的DFT

演示一个4点的序列 FFT 流图，如下图所示：
在上图中，只标注了-1的地方，凡是1的地方都没有标注，这样使得图更简洁。

2.2、示例2 ~ 8点的序列表示成两个2点的DFT

演示一个8点的序列 FFT 流图，如下图所示：
然后再将 4 点序列的 DFT 分解为2 个 2 点序列的DFT。

上图中只有 2点DFT 是实现从时域到频域的变换，后面都是短序列的DFT合成长序列的DFT。

由于时域上 2 点序列计算 DFT 和用两个短序列合成长序列的DFT的矩阵是一样的，

所以整个图看起来就非常对称，实际上就是完全对称的，如下所示：
将这个图完整地表达出来，就是这样的：
对于8点的序列来说，一共分为3级；

第一级是把时域的序列转化为它对应的DFT的值；
第二级是两个2点序列DFT合成一个4点序列DFT；
第二级是两个4点序列DFT合成一个8点序列DFT；

库利-图基的这个基二时间抽取FFT算法是一个非常精妙之处就在于它的这个算法结构非常对称。这个算法效率高，而且易于硬件实现。

2.3、实例演示

最终得出结果：

3、基2时间抽取FFT算法流图特点

3.1、蝶形图的关系

第一级的时候，蝶形图的间隔都是1；

3.2、旋转因子的规律

旋转因子到最后一级一定是N0，N1，N2，… N/2 - 1。

旋转因子的规律如下：

3.3、序列关系

这个图告诉我们，将原本的下标0,1,2,3,4,5,6,7二进制表示之后，将这个二进制序列倒一下个，就得到它对应的所要的下标。
所以FFT在实现的时候，我们都用这样倒序的方式来实现。

3.4、原位运算

FFT还有一个非常奇妙的地方，它可以实现原位运算。

原位预算就是后面一级的数据会自动覆盖前面一级的数据。
输入序列是8点序列，在整个运算过程中始终占着8个位置，无需存储中间计算结果。

4、基2时间抽取FFT算法的复杂度

复数乘法的次数变化：

当然这要求N应该等于2的M次，如果不满足，那就补0，补到满足为止。

可以通过具体的数据直观展示：

有了FFT算法之后，让本来难以实时完成的DFT运算，可以实时完成。

通过程序实际体验：

FFT算法只占DFT算法不到它原来的0.04%。这个效率是非常可观的。

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