整数规划、混合整数规划基础知识
优化
优化三大要素:决策变量、约束条件、和目标函数
根据3个要素的不同,优化问题划分为多种不同的类型,其中就包含线性规划LP和混合整数规划MIP。
线性规划
线性规划LP基础:https://www.gurobi.com/resource/linear-programming-basics/
线性规划(Linear programming,简称LP):研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法
- 线性:数学里,一般说的线性,是说的线性映射,满足
①可加性:f(x+y)=f(x)+f(y)
②齐次性:f(ax)=af(x) - 线性关系:两个变量之间存在一次函数关系
- 约束优化问题:给定约束条件和目标函数,计算约束条件下目标函数的最大(最小)值。
- 目标函数和约束条件都是线性函数的情况,称为线性优化问题,即目标函数是线性的,所有约束也是线性的。
经典LP问题:资源分配生产问题、
整数规划
1,整数规划(Integer Programming,简称IP):规划问题中一部分变量或者全部变量为整数变量的话,该数学规划问题就属于整数规划问,即自变量存在整数。
2,整数规划的可行域是离散的
3,整数规划问题被看作数学规划里、乃至世界上最难的问题之一,通常退而求其次求解近似解或局部最优解。
4,常见整数规划问题:背包问题、广义指派问题、集合覆盖问题
5,分类(按决策变量分):
①全部决策变量限制为整数的规划问题,称为纯整数规划
②部分决策变量限制为整数的规划问题,称为混合整数规划,即自变量既包含整数也有连续变量,混合整数规划(mixed integer programming,简称MIP)基础:https://www.gurobi.com/resource/mip-basics/
③决策变量只取0或1的规划问题,称为0-1整数规划
求解
1,求解难度大:虽然连续优化问题的可行解有无数多个,但是通过微积分,这一成熟且强大的工具,往往可以建立出针对连续优化(即可微)问题的最优性条件。整数规划问题中,整数不连续从而不可微分,导致无法使用微积分的工具,难以得到最优性条件,同时由于离散,无法满足凸性。
2,普遍方法:
① 整数规划方法:分支定界法、割平面法、蒙特卡罗法、列生成法,拉格朗日松弛法等
② 0-1整数规划:隐枚举法、(指派问题:匈牙利法)
3,精确算法:分支定界法(Branch and Bound Algorithm, B&B)、枚举法
分支(Branching) 算法是整数规划求解器的核心框架
整数规划精确算法核心的便是分支定界法,以及增加分支定界效率的各种技巧,例如割平面方法(Cutting Planes Method)。
①问题的规模往往非常小;②最后获得的解,必定是最优解
4,近似算法(Approximate Algorithm):
根据特定问题使用一些技巧(贪婪策略,限制,划分,断切,松弛)
比较考验技术,需要给出算法的近似比,复杂度分析,具有很强的推理能力。同样,这类算法的求解规模还是比较受限制的,其最后获得的解不是最优解。
5.启发式算法(Heuristic Algorithm):算法设计者根据经验或者观察到的性质设计出来的。TSP问题:LKH算法。
启发式算法大致可以分为四类:取整(Rounding)、下潜(Diving)、子问题(Sub-MIP)和上述三类之外的其他算法。
6,神经网络(Neural Networks):Google的DeepMind团队2021年官宣了一篇神经网络(Neural Networks)求解MIP论文,文章链接https://arxiv.org/abs/2012.13349及国内评读评DeepMind近期神经网络求解MIP的论文:https://zhuanlan.zhihu.com/p/400603949
作者:王源
链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/406262088
来源:知乎
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