大整数的乘法（递归方程+复杂度分析）

递归方程+复杂度分析

大整数的乘法

背景介绍

设X和Y都是n位二进制整数，现在需要计算它们的乘积XY，如果使用小学的思路设计算法，那么需要n²次乘法和n-1次加法，效率太低，那么能够设计出一种算法能够提高效率？

方案一

将n位二进制整数X和Y都分为两段，每段的长度为n/2，如下图所示

此时，X=A2n/2+BX=A2^{n/2}+BX=A2n/2+B，Y=C2n/2+DY=C2^{n/2}+DY=C2n/2+D，XY的乘积就为：

XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+BC)2n/2+BDXY=(A2^{n/2}+B)(C2^{n/2}+D)=AC2^n+(AD+BC)2^{n/2}+BDXY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+BC)2n/2+BD，共需要4次2^n/2位的乘法，3次长度不超过2n的加法，以及两次移位操作，所以可以得出对应递归方程如下：
T(n)={O(1)n=14T(n/2)+O(n)n>1T(n)= \begin{cases} O(1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad{n=1}\\ 4T(n/2)+O(n)\quad\quad{n\gt1} \end{cases} T(n)={O(1)n=14T(n/2)+O(n)n>1
对应的时间复杂度求解过程如下：

当n>1时(注：c_i为常数)：
T(n)=4T(n/2)+O(n)=42T(n/22)+c1O(n)=...=4kT(n/2k)+ckO(n)T(n)=4T(n/2)+O(n)\\ =4^2T(n/2^2)+c_1O(n)\\ =...\\ =4^kT(n/2^k)+c_kO(n) T(n)=4T(n/2)+O(n)=42T(n/22)+c1O(n)=...=4kT(n/2k)+ckO(n)
令2k=n2^k=n2k=n，则k=log2nk=log_2nk=log2n，此时
T(n)=4kT(n/2k)+ckO(n)=4kT(1)+ckO(n)=(2log24)log2n+ckO(n)=(2log2n)log24+ckO(n)=O(nlog24)+ckO(n)=O(nlog24)=O(n2)T(n)=4^kT(n/2^k)+c_kO(n)\\ =4^kT(1)+c_kO(n)\\ =(2^{log_24})^{log_2n}+c_kO(n)\\ =(2^{log_2n})^{log_24}+c_kO(n)\\ =O(n^{log_24})+c_kO(n)\\ =O(n^{log_24})\\ =O(n^2) T(n)=4kT(n/2k)+ckO(n)=4kT(1)+ckO(n)=(2log24)log2n+ckO(n)=(2log2n)log24+ckO(n)=O(nlog24)+ckO(n)=O(nlog24)=O(n2)
注：这里系数是4，求完相应对数后，结果为2，写的麻烦是为了当系数为3时，同学们也能理解清楚计算的过程。

方案二

XY=AC2n+((A−B)(D−C)+AC+BD)2n/2+BDXY=AC2^n+((A-B)(D-C)+AC+BD)2^{n/2}+BDXY=AC2n+((A−B)(D−C)+AC+BD)2n/2+BD，看上去算式更复杂，但仅需3次n/2位整数的乘法，6次加、减法和2次移位。于是可得出递归方程如下：
T(n)={O(1)n=13T(n/2)+O(n)n>1T(n)= \begin{cases} O(1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad{n=1}\\ 3T(n/2)+O(n)\quad\quad{n\gt1} \end{cases} T(n)={O(1)n=13T(n/2)+O(n)n>1
通过上述的时间复杂度求解过程，可算得T(n)=O(nlog23)=O(n1.59)T(n)=O(n^{log_23})=O(n^{1.59})T(n)=O(nlog23)=O(n1.59)，相较于之前的，算是较大的一个改进。

因为博主写也只是在学习过程中做个人总结，所以难免可能会有错误的地方，欢迎大家一起交流、讨论。如果有幸解决了您的一些疑问，本人不胜感激!