前言

1 问题描述

2 RBF神经网络原理

3 控制算法设计与分析

4 仿真实例

5 总结

参考文献

前言

如果被控对象的数学模型已知，滑模控制器可以使系统输出直接跟踪期望指令，但较大的建模不确定性需要较大的切换增益，这就造成抖振，抖振是滑模控制中难易避免的问题。

将滑模控制结合神经网络逼近非线性系统的控制中，采用神经网络实现模型未知部分的自适应逼近，可有效地降低模糊增益。神经网络自适应律通过 $Lyapunov$ 方法导出，通过自适应权重的调节保证整个闭环系统的稳定性和收敛性。

RBF神经网络于1988年提出。相比于多层前馈BP网络，RBF网络具有良好的泛化能力，网络结构简单，避免不必要的和冗长的计算。关于RBF网络的研究表明了RBF神经网络能在一个紧凑集和任意精度下，逼近任何非线性函数。目前，已经有许多针对非线性系统的RBF神经网络控制研究成果发表。

1 问题描述

考虑一种简单地动力学系统：

$\ddot{\theta}=f(\theta,\dot{\theta})+u$

其中， $\theta$ 为转动角度， $u$ 为控制输入。

写成状态方程形式为

$\left\{\begin{matrix} \dot{x}_{1}=x_{2}\\ \dot{x}_{2}=f(x)+u \end{matrix}\right.$

其中， $f(x)$ 为未知。

位置指令为 $x_{d}$ ，则误差及其导数为

$e=x_{1}-x_{d}$

$\dot{e}=x_{2}-\dot{x}_{d}$

定义滑模函数为

$s=ce+\dot{e},c>0$

则

$s=ce+\dot{e}=c\dot{e}+\ddot{e}=c\dot{e}+\dot{x}_{2}-\ddot{x}_{d}=c\dot{e}+f(x)+u-\ddot{x}_{d}$

由上述公式可见，如果 $s\rightarrow 0$ ，则 $e\rightarrow 0$ 且 $\dot{e}\rightarrow 0$ 。

2 RBF神经网络原理

由于RBF网络具有万能逼近特性，采用RBF神经网络逼近 $f(x)$ ，网络算法为

$h_{j}=exp(\frac{\left \| x-c_{j} \right \|^{2}}{2b^{2}})$

$f=W^{*T}h(x)+\varepsilon$

其中， $x$ 为网络的输入； $j$ 为网络隐含层第 $j$ 个节点； $h=[h_{j}]^{T}$ 为网络的高斯基函数输出； $W^{*}$ 为网络的理想权值； $\varepsilon$ 为网络的逼近误差， $\varepsilon \leqslant \varepsilon_{N}$ 。

网络输入取 $x=[x_{1}\ x_{2}]^{T}$ ，则网络输出为

$\hat{f}(x)=\hat{W}^{T}h(x)$

3 控制算法设计与分析

由于

$f(x)-\hat{f}(x)=W^{*T}h(x)+\varepsilon -\hat{W}^{T}h(x)=-\tilde{W}^{T}h(x)+\varepsilon$

定义 $Lyapunov$ 函数为

$V=\frac{1}{2}s^{2}+\frac{1}{2\gamma }\tilde{W}^{T}\tilde{W}$

其中， $\gamma >0,\tilde{W}=\hat{W}-W^{*}$ 。

于是

$\dot{V}=s\dot{s}+\frac{1}{\gamma }\tilde{W}^{T}\dot{\hat{W}}=s(c\dot{e}+f(x)+u-\dot{x}_{d})+\frac{1}{\gamma }\tilde{W}^{T}\dot{\hat{W}}$

设置控制律为

$u=-c\dot{e}-\hat{f}(x)+\dot{x}_{d}-\eta sgn(s)$

则

$\dot{V}=s(f(x)-\hat{f}(x)-\eta sgn(s))+\frac{1}{\gamma }\tilde{W}^{T}\dot{\hat{W}}$

$=s(-\tilde{W}^{T}h(x)+\varepsilon -\eta sgn(s))+\frac{1}{\gamma }\tilde{W}^{T}\dot{\hat{W}}$

$=\varepsilon s-\eta \left | s \right |+\tilde{W}^{T}(\frac{1}{\gamma }\dot{\hat{W}}-sh(x))$

取 $\eta >\left | \varepsilon \right | _{max}$ ，自适应律为

$\dot{\hat{W}}=\gamma sh(x)$

则 $\dot{V}=\varepsilon s-\eta \left | s \right |\leqslant 0$ 。

当 $\dot{V}\equiv 0$ 时， $s\equiv 0$ ，根据 $Lasalle$ 不变集原理，闭环系统渐进稳定， $t\rightarrow \infty$ 时， $s\rightarrow 0$ 。由于 $V\geqslant 0,\dot{V}\leqslant 0$ ，则当 $t\rightarrow \infty$ 时， $V$ 有界，则 $\hat{W}$ 有界，但无法保证 $\hat{W}$ 收敛于 $W$ 。

可见，控制律中的鲁棒项 $\eta sgn(s)$ 的作用是克服神经网络的逼近误差，以保证系统的稳定。

4 仿真实例

考虑如下被控对象：

$\left\{\begin{matrix} \dot{x}_{1}=x_{2}\\ \dot{x}_{2}=f(x)+u \end{matrix}\right.$

其中， $f(x)=10x_{1}x_{2}$ 。

位置指令为 $x_{d}=sint$ ，采用第3章中设计的控制律和自适应律，取 $\gamma =500,\eta =0.50$ 。根据网络输入 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的实际范围来设计高斯基函数的参数，参数 $c_{i}$ 和 $b_{i}$ 取值分别为 $[-2\ -1 \ \ 0 \ \ 1\ \ 2]$ 和 $3.0$ 。网络权值中各个元素的初始值取 $0.10$ 。仿真结果如图所示。

5 总结

本文主要设计了一种简单地基于RBF神经网络的滑模控制器。

若有侵权，联系必删！

码字不易，若大家觉得还行，后续还会更新，有兴趣的同学可以一起讨论，也欢迎批评指正！

参考文献（点击下载相应资源）

滑模变结构控制matlab仿真：基本理论与设计方法/刘金琨著.-3版.-背景:清华大学出版社,2015

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