文章目录

严平稳和宽平稳
- 严平稳
- 宽平稳
- 严平稳和宽平稳的关系
- 宽平稳的性质
- 例题
联合平稳过程
- 定义
各态历经性( 均方遍历性 )
- 意义
- 均值遍历定理
- 自相关函数遍历定理
- 例题
琐碎联想

严平稳和宽平稳

严平稳

严平稳是真的很严格，可以用分布函数族来定义，也可以用密度函数族来定义 ( 由于特征函数和它们的一一对应性，所以也可以用特征函数族来证明 )

分布不会随着时间而改变
||
||
V
期望是个常量（因为分布函数与 t 无关，积分的时候就会把 t 消掉）

所以随机过程的期望一般来说不是常量（还是个随机过程），就像随机过程的导数和积分也一般来说不是常量，还是个随机过程

证严平稳的思路

图

宽平稳

宽平稳则是从数字特征函数方面进行下手定义的

分布改变只和时间差有关联

可以用两种方式刻画（自相关和协方差）因为只要期望是常数，自相关和协方差之间只相差一个变量而已（分析详见琐碎联想）

严平稳和宽平稳的关系

没有特殊说明的话，我们指的平稳过程都是宽平稳，因为这样的过程比较好表达，只用数字特征表达就可以了
两者其实没有什么必然的联系。严平稳是很严格的，宽平稳实际上只要满足相应的数字特征即可（均值和方差相同但是分布不一致的随机过程太多了）满足是二阶矩的严一定是宽，满足宽的正态分布一定是严
求出分布密度函数里面，和t₁以及t₂无关，只与τ\tauτ = t₂ - t₁有关
- 因为分布密度函数只与τ\tauτ有关，那么分布函数是分布密度函数的积分，也只与τ\tauτ有关，所以可以看出这是个严平稳过程
  
  老肖这也不知道在证啥…密度函数族只与时间之差有关的话，积出来的分布函数族还是只与时间之差有关= =

宽其实和严关系不大只是满足了那几个数字特征的一个过程而已

宽平稳的性质

简单证明
- 第一行共轭对称性
- 第二行就是利用R(0)就是EX²的以及DX非负的性质
- 第三行利用第二行的性质以及斯沃茨不等式的性质（证明协方差的时候还用到了Cov(τ\tauτ) =R(τ\tauτ) -μ2\mu^2μ2 【这是对于自相关和自协方差来说，如果是互相关和互协方差就不能这么写了】

平稳过程的自相关函数非负如何理解？ -》不必纠结，任何过程和的自相关函数都是非负的

这是关于求导的性质

注意，性质1，等式右边有个负号，是因为R(τ)=R(\tau)=R(τ)=R(s-t)，先对s求导(这一步没毛病），再对 t 求导，但是此时 t 前面有个负号啊别忘了

还没摸清这个性质有啥用…

例题

联合平稳过程

定义

互相关函数与 t 无关，仅与τ\tauτ相关

平稳过程的互相关函数也是与t无关的话，他们的线性组合也平稳…

性质证明
- 第一个的话，跟自相关函数是一样的，共轭对称性
- 第二个的话，用斯沃茨不等式
- 第三个的话，就是用定义证出来的，如下

各态历经性( 均方遍历性 )

意义

可以用时间 ( t ) 上的平均来代替样本函数上的采样( w )平均

定义

非退化随机变量的意思是，<ξ(t)>算出来不会是是个常数，而Eξ(t)是常数，所以肯定不相等
这里证明的思路就是：

先对ξ(t)求时间平均 ( 对t求平均积分然后再求均方极限 )，看看和自己本身的期望是不是相同的( 这个时候是对非 t 参数进行积分 ) 。如果ok下一步
再对ξ(t)ξ( t+τ\tauτ)求时间平均 ( 对t求平均积分然后再求均方极限 )，看看和自己本身的自相关函数是不是相同的( 自相关函数就是ξ(t)ξ( t+τ\tauτ)对参非t参数进行积分 )

大概可以看出含义是：
如果均方遍历的，我们就可以用某一个时刻的情况去估计整体时刻的情况

至于为什么只考察一阶矩和二阶矩，因为高阶矩（>2) 被低阶矩( 《=2 ) 控制，而一阶矩被二阶矩控制（Eξ <= Eξ² )

均值遍历定理

均值遍历性等价于均值为常数，方差为0

自相关函数遍历定理

例题

琐碎联想

随机过程中的协方差函数，如果取t1=t2 实际上跟方差函数很像
方差是EX² - E²X
协方差是R(t₁,t₂) - Et₁Et₂

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