费波那契数列(兔子繁殖数列)

兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对成年而有繁殖力的兔子每个月能生出一对小兔子来。假设一年以后所有兔子都不死，那么一对小兔子一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们来分析一下：

一月，这对小兔子未成年，所以是1对幼年兔子，0对成年兔子；

二月，这对小兔子变为成年兔子，但还没有繁殖能力，所以是0对幼年兔子，1对成年兔子；

三月，这对成年兔子有了繁殖能力，生下一对小兔子(第一胎儿辈)，所以是1对幼年兔子，1对成年兔子；

四月，这对老兔子又生下一对小兔子，而三月出生的那对小兔子虽然成年但还没有繁殖能力，所以是1对幼年兔子，2对成年兔子；

五月，这对老兔子再生下一对小兔子，而三月出生的那对小兔子已有繁殖能力，也生下一对小兔子(第一胎孙辈)，四月出生的那对小兔子则己成年但还没有繁殖能力，所以是2对幼年兔子，3对成年兔子；

依次类推，可以列出下表：

由上表可知，从养一对小兔子开始，一年以后最多可以繁殖233对兔子。在商人眼里，养一对小兔子一年以后最多可以繁殖出466只兔子。但在老子等哲人眼里，兔子的生育必定是阴阳成对的；而在意大利数学家斐波那契眼里，成年兔子的对数则形成了一个完整的“兔子”数列：

这是斐波那契于1202年发现的一个神奇数列，又称斐波那契数列。这个“兔子”数列被斐波纳契以递归的方法加以定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)(n>=2，n∈N*)。其主要特征至少有四：

一是从数列的第2项开始，每项数值都是前两项之和。

二是从数列的第9项开始，相邻两项之比接近黄金分割数，并且互为倒数，尤其是从第11项开始，前后相邻两项比值的小数部分均为0.6180……无限接近于黄金分割无理数。

三是偶数项的平方比前后两项的乘积少1，而奇数项的平方比前后两项的乘积多1。比如，第4项3的平方比2和5的乘积少1，第5项5的平方比3和8的乘积多1。

四是数列第5n项和第12n项(n均为正整数)的值与本项序列号具有相似性，即可以整除，比如第5项5÷5=1，第25项75025÷25=3001，第12项144÷12=12，余数均为零。

这四个特征与易经象数均有紧密联系，这里先分析“兔子”数列的递归特征和黄金分割特征与易经象数的关系。

假定我们以递归的方法重新定义“兔子”数列的前两项：F0=2，F1=5。这个问题就变成了：兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对成年而有繁殖力的兔子每个月能生出一对小兔子来。假设一年以后所有兔子都不死，那么5对小兔子和2对成年兔子一年以后可以繁殖多少对兔子？

依次类推，可知5对小兔子和2对成年兔子一年以后可以繁殖1631对兔子。

从上表三个“兔子”数列可以发现：无论前两项取什么值，只要从数列的第2项开始，每项数值都是前两项之和；那么，从数列的第9项开始，相邻两项之比接近黄金分割数，并且互为倒数。

由此可知，阴阳相互对立统一的两个方面，无论它们初始的差距有多大，在对立统一发展的过程中，它们相互之间的关系总是无限趋近于平衡、和谐。

如果我们把A、B、C、D、E…作为事物发展若干阶段的成果，用字母数学式来抽象表达“兔子”数列则是：

如果将“兔子”数列的前7个数项在二维空间作平面图，或者将道(包括常道和非常道)、一、二、三及五行、六十四卦等7个象数折射于二维空间作平面图，就可制成如下图形。这个旋转生成的图形，正是生物(包括植物和动物)成长的抽象示意图。

这个图如果继续再画下去，就要画13点了。因为围绕“道、一、二、三”这个事物的核心(可视为仁或者种子)，再接下去就是13、21、34……紧紧围绕在这个中心周围一直画下去。这是一个无穷无尽的过程，所以这里只能画个示意图。这个斐波那契数列几何图很像围棋，每个维度上的顶点就像是棋子。也许，围棋的本义应当是“维棋”。因为它演绎的正是易经的象数和义理。

可见，“道生一(包括常道生一，非常道生一)，一生二，二生三，三生万物”，这是大自然的普遍规律。道，是事物发展的源泉和动力。西方的对立统一思想(较早的代表人物毕达哥拉斯、赫拉克里特、亚里士多德、黑格尔等)其实与中国易经象数是有共同之处的。其中，

斐波那契的“兔子”数列就是对中国易经象数的继承发展。斐波那契让“兔子”告诉我们，对称生长只是黄金分割生长的特殊情形(偶然的非常道)，非对称生长才是万物生长的常态(即必然的常道)。