DBFS解二阶魔方——一次c++学习之旅
目录
前言
构思解法
优化方案
代码及详细注释
1.定义魔方的一个状态
2.状态初始化
3.转动
4.查重
5.双向广搜
6.输出
7.输入
8.主函数
几段实用代码
前言
本人是c++初学者，对魔方有浓厚的兴趣，希望用c++最小步还原魔方。本文是我对DBFS还原二阶魔方的详细思考过程，文章末尾还记录了学习c++的几条笔记。希望各位大神批评指正！
参考文章：
写一个解二阶魔方的程序 - 终末之冬 - 博客园
研究非常透彻，还做了交互式网页。
二阶魔方求解算法研究（44页）-原创力文档
对最小步还原二阶魔方的算法的详尽剖析，优化也做得非常好。
https://pan.baidu.com/s/1inzGNldd_EHc6nE4pvaYqw
这是本文优化前后的代码。提取码：5d8y
构思解法
一、DBFS而非BFS
魔方状态数有7!*3^6=3671460种，从优化后的DBFS算法看来，30ms搜索25000种状态，10s之内是可以单向广搜完370万种状态的，内存占用预计不会超过100MB。单向广搜费时费空间，毕竟我的目的并非用它测试c++和电脑的运行效率。
二、预计搜索量及时间
由二阶魔方的对称性，六个面随意转动相当于只转动其中的三个面，每个面有顺时针90度、180度、270度三种，因此每一步有9种扩展方法。又已知二阶魔方的QTM最小步数为14，HTM（上述的9种扩展{U,U2,U’,F,F2,F’,R,R2,R’}）的最小步数是11。每一步对某一个面的转动是完全的，下一步不需要考虑搜索上一步转动的面，因此第一步搜索有9种扩展方法，以后每一步只有6条分支。
采取双向广搜DBFS，每一个广搜分支最大深度为6，最大搜索量不会超过9*6^5+9*6^4=69984+11664=81648，预计最长搜索时间小于100ms，这比单向广搜优化了不少。
三、定义魔方状态
最简单的想法是定义21个面的颜色（<b,h,d>角块不参与转动，24-3=21），每次转动进行12次赋值。因为每个块的朝向和位置是独立的，我们可以分别定义处于7个位置上的块的编号和朝向，每次转动只需要赋值8次，而且节省空间。
魔方状态的定义，理论上最少只需要(3+2)*7=35bit（0~6共7种位置，012共3种朝向，分别需要3个、2个bit来存储），一个long int（64bit）就能够按位存储一种魔方状态。然而频繁按位读取、写入比较麻烦，因此我采用两个short int[7]数组，共14个元素，记录每一种状态的位置和朝向，考虑用string记录搜索路径。
四、查重
首先用to_string()将14个位置和状态数连接成字符串，作为成魔方的标识，再运用map容器查找是否已搜索过。
优化方案
一、用unordered_map代替map
unordered_map散列哈希表的时间O(1)比map红黑树O(logn)快。结果证明，unordered_map是map查找时间的一半以下。
二、位运算及位存储
查重时，运用移位的方法，分别把两个数组的前6个元素存储到同一个int中，(3+2)*6<32，来作为魔方状态的标识。这样既减少了to_string()时间消耗，查找也更快，时间直接减少至原来的1/3。
按位int比string存储路径快得多，每4位存储一步搜索路径，加上必要的终止符“1111”（15），（6+1）*4<32，时间减少到原算法的一半。
%16,、%4、%2可以用&15、&3、&1代替，按位与 比 取余快得多。
三、int改为short int
代码中大部分数据是小于10的整型，int存储浪费空间，可以考虑只占用1个字节的char。但是char字符数组‘\0’与‘0’无法区分，操作不方便，因此使用short类型。
四、查重时免查己方路径
从结果看来，6步以内重复状态数很少，多扩展节点数也就几十到一百个，但是查询己方路径的时间开销远大于重复扩展的时间，因此可以免查己方路径。
代码及详细注释
1.定义魔方的一个状态
typedef struct Cube{int pos[7];int state[7];string path;int last;}st;
state[i]表示第i∈{0,1,2,3,4,5,6}个位置的现有角块序号，如图2表示为state[7]={2,3,6,1,0,4,5}
path路径，比如从起始节点通过{R,U2,F}扩展而来的状态，path=“613”
last上一次转动，last∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8}
pos[i]表示第i个位置朝向，怎么定义朝向呢？可以参考盲拧高、中、低级色的定义： 
定义上、下面为0号面，前、后面为1号面，左、右面为2号面。不妨通过整体旋转使得7号位黄色或白色向下，那么对于0~6号位的角块，黄色或白色在几号面上，它的朝向就是几。
如图4，7号位置是<白，橙，绿>，白色已经在底面。此时5号位的<黄，蓝，红>的黄色面朝前（即1号面），因此pos[5]=1。
2.状态初始化
st org,rest;
org为被打乱需要复原的状态，rest目标状态
void shuffle()
{int i;for(i=0;i<7;i++){rest.pos[i]=0;rest.state[i]=i;}
设置目标状态rest每个白面都朝上，黄面都朝下，每个块的序号与位置对应int mv[11]={1,7,3,0,7,0,7,4,0,4,0};//int mv[10]={7,1,8,1,3,6,0,5,6,0};//int mv[7]={7,1,4,6,1,7,0};
三组从rest开始打乱的测试公式，分别为11、10、7步org=rest;for(i=0;i<11;i++){org=exchange(mv[i],org);}rest.path="";org.path="";rest.last=10;
org.last=10;
初始化搜索路径，last=10本来不存在，但能达到第一次扩展进行9种旋转的目的。
}
3.转动
将{U,U2,U’,F,F2,F’,R,R2,R’}映射到0~8每个数字，记一次转动为int num，
st exchange(int num,st sat) //num为0~8转动，sat为父状态
{int x=num/3,y=num%3+1,qi,ho,i;st wen=sat; //新的子状态，这样拷贝似乎不会出问题~int change[3][4]={{2,1,0,3},{0,1,5,4},{2,6,5,1}};//change的每组4个元素，分别代表U、F、R面参与转动的有序位置循环for(i=0;i<4;i++){qi=change[x][i]; //转动前的位置qi，i与qi、ho一一对应ho=change[x][(i+y)%4]; //转动后的位置howen.state[ho]=sat.state[qi]; //将sat的qi位置块赋值给wen的ho位置块if(y==2) //若旋转180°wen.pos[ho]=sat.pos[qi]; //所有块转动前后朝向不变else if(sat.pos[qi]==x) //若白/黄面在转动的面上，转动前后朝向不变wen.pos[ho]=x;else //操作是90°或270°, 且白/黄面不在转动的面上wen.pos[ho]=(3-sat.pos[qi]-x)%3; //ho朝向是qi朝向除去转动面外的另一个数//例如：pos[qi]==1，转动2号面（特指R面），必然有pos[ho]==0}wen.path=sat.path+ to_string(num); //int转string并添加在path末尾wen.last=num;return wen;
}
4.查重
#include<map>
map<string,string> app[2];
map<string,string>::iterator ite;
bool found=false; //指示是否找到
string fro,bhd; //成功找到路径后，分别存储两个搜索方向的路径bool isappear(st sat,short p) //sat某一状态，p=0或1，区分两个搜索方向
{int i,dex=(p+1)%2; //p=0则dex=1，p=1则dex=0string wt="";for(i=0;i<7;i++) //将pos、state每个元素顺次连接成字符串，作为该状态的识别码{wt+=to_string(sat.state[i]);wt+=to_string(sat.pos[i]);}ite=app[dex].find(wt); //在对面容器是否搜索过wt？if (ite!=app[dex].end()) //对面搜索过，表示已成功找到路径{fro=sat.path;bhd=ite->second;found=true;return true;}else //对面未曾搜索过{ite=app[p].find(wt); //自己是否曾经搜索过？if(ite==app[p].end()) //自己也没搜索过{app[p][wt]=sat.path; //wt为key，对应path值，加入自己这边的容器return true;}else return false; //自己搜索过，不用扩展节点了}
}
5.双向广搜
st pcr[2][70000]; //用数组构造先进先出队列
int DBFS()
{pcr[0][0]=org;pcr[1][0]=rest; //初始、目标状态入队isappear(org,0);isappear(rest,1); //在map容器里标记 int i,dex[2]={1,1},mk,j, count=-1; //dex[i]表示在队尾添加节点时的数组下标st now,tp;while (!found){count++;for(i=0;i<2;i++){now=pcr[i][count]; //分别取pcr[0]、pcr[1]的第count个节点扩展mk=(now.last)/3; //父节点最后一次转动for(j=0;j<9;j++) //9种转动{if (j/3!=mk) //如果它上一次不转这个面{tp=exchange(j,now); //按j转动if (isappear(tp,i)) //若可以扩展{pcr[i][dex[i]]=tp; //加入队尾dex[i]++;if (found) //若成功碰头{cout<<"search joints:"<<dex[0]+dex[1]<<endl;//输出总搜索节点数return 0;}}}}}}return 0;
}
6.输出
例如：打乱公式shf为：UFUF2R2URF2U2R’F’
还原公式slv为：FRU2F2R’U’R2F2U’F’U’
而搜索得到的是：fro=”074030”， bhd=”84163”
分别对应fro：UR2F2UFU ，bhd：R’F2U2RF
欲得shf：反序读取fro并对bhd进行处理（转动面不变，90度与270度互换，180度不变）
欲得slv：反序读取bhd并正序处理fro
void output()
{short i,t1,t2;string shf="",slv="",tp=""; //shf打乱步骤，slv解决公式，二者互逆string output[9]={"U","U2","U'","F","F2","F'","R","R2","R'"};char c1[20],c2[20],c; strcpy(c1,fro.c_str());strcpy(c2,bhd.c_str()); //把fro、bhd从string转化成字符数组，再拷贝到c1、c2中t1=fro.size();t2=bhd.size();for(i=0;i<t1;i++){shf+=output[c1[i]-48]; //利用char的字符、数字两重性，如：‘9’-‘0’==9c=c1[t1-1-i]-48; //逆序读取tp+=output[c/3*3+2-c%3]; //处理后，再串联成字符串}for(i=0;i<t2;i++){slv+=output[c2[i]-48];c=c2[t2-1-i]-48;shf+=output[c/3*3+2-c%3];}slv+=tp;cout<<"shuffle:"<<shf<<endl;cout<<"steps:"<<t1+t2<<endl;cout<<"solution:"<<slv<<endl;
}
7.输入
void input()
{short i;for(i=0;i<7;i++)scanf("%hd",&org.state[i]);for(i=0;i<7;i++)scanf("%hd",&org.pos[i]);
}
因为懒，没有写检查输入是否合法的语句，但千万要注意输入的格式！前7个是位置为0~6的块的编号，不重不漏。后7个是pos，pos[i]∈{0,1,2}，且pos[i]之和为3的倍数，否则得到的结果是错误的。
样例输入：
2 4 1 5 0 6 3 1 0 2 2 1 0 0 （14个数字，每敲入一个后，按回车换行）
样例输出：
search joints:2896
shuffle:F’UR2U2F’U’RF2
steps:8
solution:F2R’UFU2R2U’F
76.888000ms
8.主函数
int main()
{clock_t t1=clock();shuffle();input(); //若注释掉这一行，可以用shuffle()里的打乱公式进行测试DBFS();output();float dt=clock()-t1;printf("%fms",dt/1000);return 0;
}
几段实用代码
以下是笔者学习过程中认为挺实用的代码。
1.测量时间间隔
#include<time.h>
clock_t start=clock();…主程序…float duration=clock()-start;
printf("%f ms",duration/1000);2.自定义数据结构
typedef struct Student{int id;char *name;}st;Student是结构名称，st是调用关键字，调用如下：st stu1;
st.id=20220502;3.字符串
字符串不能直接赋值，只能拷贝:strcpy(c1,c2); //将c2拷贝到c1
区别于拷贝数组：memcpy(b,a,sizeof(a));
字符数组：char p[]=”I am a student”;
c2拼接到c1末尾：strcat(c1,c2);
获取长度(注意与 sizeof(c1) 区别)c1.size() 或者 c1.length()
string 转 char 数组：char c1[]=”I am a student”;string c2=c1.c_str();
反转字符串：#include<algorithm>reverse( c1.begin(), c1.end() );4.队列
#include<queue>//或者priority_queue用法类似
定义队列：queue <string> a;
队头元素：a.top
非空：if ( !a.empty() )
元素个数：a.size()
在队尾加入元素：a.push(i)
弹出队头：a.pop()5.map容器
#include<map> //unordered_map用法类似
声明：map<string,int> app;
迭代器声明：map<string,int>::iterator it;
赋值有3种方法，最简洁的一种：app[“one”]=1;
查找：it=app.find(“two”);if (it==app.end())//若为真，则未找到；若为假，则容器中已存在
遍历访问：正向遍历：map<string,int>::iterator it;for( it=app.begin; it!=app.end(); it++ )逆向遍历：map<string,int>::reverse_iterator it;for( it=app.rbegin; it!=app.rend(); it++ )6.其他
（1）三目运算符
Money=(age>12) ? 80 : 20;
i ? isappear1(tp) : isappear2(tp)；
变量d=（判断语句c）？（a）：（b）//如果c真，执行a或者将a赋值给d，反之b（2）指针操作
用指针访问优缺点并存，缺点是容易出错，优点提高运行效率、简洁。
（3）预定义函数
定义函数：#define Swap(a,b) {int tp=a;a=b;b=tp;}
定义常量：#define LEN “please press any key to continue…”（4）整型的位运算
乘法：a=a*4 <=> a<<2a=a*7 <=> a=a<<2+a<<1+a
整除：b=b/4 <=> b=b>>2
取余：x=w%8 <=> x=w&7只有2^n才能移位整除、按位与求余！
(本文完）
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