e^x的基本算法——剥离大指数法

e^x泰勒展开式

e^x =

1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

当x<0.1时，e^x泰勒展开式收缩很快，

当x=1时，e=1+1/1!+1/2!+1/3!+....+1/(n-1)!+.....

＝2.7182818284590452353602874713527，收缩较快；

当x>1时，e^x泰勒展开式收缩慢，利用 e^(y+z)= (e^y)*

(e^z) 把指数的正整数部分和小数部分剥离出来。

整数部分进一步拆分为大整数和小整数，

小数部分进一步拆分为大小数和小小数，

当小小数<0.1时，用e^x泰勒展开式。

用平方，开平方，或e^x泰勒展开式先求出一些基本的e^m值

例如：e^768=(e^384

)^2=(5.87599003828924E+166)^2

＝(5.87599003828924^2)*(10^166)^2＝3.45272589300743E+333

这已经超过了Excel2003表格的计算上限。但是用科学计数法手工计算乘法很方便。都是10以内的乘法，只不过小数点后拖了十几位数而已。所谓的大数，不过是从10^166一下跳到10^332而已。

一些基本的e^m值表：15位有效数

指数m

e^m值

768.000

3.45272589300743E+333

512.000

2.28441358653976E+222

384.000

5.87599003828924E+166

256.000

1.51142766500410E+111

192.000

2.42404414941008E+83

128.000

3.88770840599460E+55

096.000

4.92345828601206E+41

064.000

6.23514908081162E+27

048.000

7.01673591209763E+20

032.000

7.89629601826807E+13

024.000

2.64891221298435E+10

016.000

8.88611052050787E+06

012.000

1.62754791419004E+05

008.000

2.98095798704173E+03

006.000

4.03428793492735E+02

004.000

5.45981500331442E+01

003.000

2.00855369231877E+01

002.000

7.38905609893065E+00

001.500

4.48168907033806E+00

001.000

2.71828182845905E+00

000.800

2.22554092849247E+00

000.500

1.64872127070013E+00

000.400

1.49182469764127E+00

000.250

1.28402541668774E+00

000.200

1.22140275816017E+00

000.125

1.13314845306683E+00

000.100

1.10517091807565E+00

上表指数有三个系列

指数0.1系列：0.8，0.4，0.2，0.1；

指数1系列：512，256，128，64，32，16，8，4，2，1，0.5，0.25，0.125；

指数3系列：768，384，192，96，48，24，12，6，3，1.5；

其中：指数0.1系列可以被替代合并到指数3系列中，变成

768，384，192，96，48，24，12，6，3，1.5，0.75，0.375，0.1875，0.09375；这在自动筛选中有优势；不过，在我的手工筛选中，看起来不直观，我没采纳。

三个系列指数依次减半，e^m值形成两道交叉拦截网，能快速剥离出上表已知的e^m大乘数，剩下小小乘数，用e^x泰勒展开式求得。

这就是e^x的基本算法——剥离大指数法，戏称“剥洋葱法”。

无论是大乘数，还是小乘数，在有效值范围内都没有误差。结果应该只有末位微小误差。

例1：求e^709.78

[附注]：e^709.78是Excel 2003能算的最大e指数。

解答方法：

与上表一些基本的e^m值比较大小，先减去比自身小的最大指数；剩余数再减去最大指数；直到剩余指数<0.1为止。剩下小小乘数，用e^x泰勒展开式求得。

解：709.78-512＝197.78-192＝5.78-4＝1.78-1.5＝0.28-0.25＝0.03

我上面连减连等，只是赋值过程，实际等式并不成立。

则e^709.78＝e^512*e^192*e^4*e^1.5*e^0.25*(1+0.03+0.03^2/2!+0.03^3/3!+…)

=(2.28441358653976E+222)*( 2.42404414941008E+83)*(

1.49182469764127E+00)

*( 4.48168907033806E+00)*( 1.28402541668774E+00)*

(1.03045453395352E+00)

=1.79282279439456E+308

对比

用winXP附件计算器算得e^709.78＝1.792822794394564537793394126609e+308

用Excel 2003所算exp(709.78)＝1.79282279439452E+308，末位误差4。

例2：求e^609.78

用剥离大指数法算得e^609.78＝6.66943700668976E+264

用winXP附件计算器算得e^609.78＝6.6694370066897621913640530143816e+264

用Excel 2003所算exp(609.78)＝6.66943700668958E+264，次末位误差2，误差超过预期值。

例3：求e^709.75

用winXP附件计算器算得e^609.75＝1.7398368732641605576982527118271e+308

用上述另外两种方法算得exp(709.75)＝1.73983687326416E+308，

都没有误差。

归纳3例：

我用剥离大指数法 剥离出 无论是大乘数，还是小乘数，在有效值范围内都没有误差。结果没有误差。而用Excel

2003所算exp(x)误差比我的大得多。

Excel 2003能算的e指数上限是e^709.78，

而winXP附件计算器的e指数上限是e^100000，十万！看着吓人，想当然认为运算量惊人，实际上指数翻倍表很快就能达到。只要多存贮十几个数就行。

e指数从768到98304的基本的e^m值表：32位有效数

指数m*

e^m值

98304**

7.6691815229220805415649846411723e+42692

65536**

8.3784949360959980424147659911234e+28461

49152**

2.7693287134109017758911569794102e+21346

32768**

9.153411897263226536143191093518e+14230

24576**

1.6641300169791126557423069120266e+10673

16384**

3.0254606091078473230142723118225e+7115

12288**

4.0793749729328789121855707231938e+5336

8192***

5.5004187196138507460749835307009e+3557

6144***

2.019746264492864190772097799669e+2668

4096***

7.4164807824289889048192105074986e+1778

3072***

1.4211777737119533881371856259636e+1334

2048***

2.7233216450557192501248059284353e+889

1536***

1.1921316092243982556320386304063e+667

1024***

5.2185454343674342011212095343615e+444

768****

3.452725893007433996921737546073e+333

例4：求e^1234.56

解：先逐层剥离大指数

1234.56-1024＝210.56-192＝18.56-16＝2.56-2＝0.56-0.5＝0.06

则e^1234.56＝e^1024* e^192* e^16* e^2* e^0.5* e^0.06

＝(5.2185454343674342011212095343615e+444)*(2.42404414941008E+83)

*(8.88611052050787E+06)*( 7.38905609893065)*(

1.64872127070013)

*(1+0.06+0.06^2/2!+0.06^3/3!+…)

在Excel 2003中先算e^192* e^16* e^2* e^0.5* e^0.06

＝2.78641699004831E+91

再乘以5.21854543436743，得1.45410436616604E+92

最后乘以10^444得1.45410436616604E+536

对比

用winXP附件计算器算得

e^1234.56＝1.4541043661660424155251073646321e+536

没有误差。