[DAY001]考研数学极限的计算知识点与题目总结（一）
内容说明：1. 博文绝大部分题目来自2022版武忠祥老师《十七堂课》，少部分来自宇哥的2022讲义2. 博文习题难度中下，计算量偏大，部分题目计算量极其巨大3. 勤练兵，常磨刀，瓜瓜要上岸~
编辑历史2022/1/14 ： 第一次编辑
第一部分 重要极限
知识提要
a）常用的重要极限
limx→∞sinxx=1\lim _{x\to \infty} \frac{sinx}{x}=1 x→∞limxsinx=1 lim(1+Δ)∞=elimΔ∞\lim (1+\Delta)^\infty = e^{\lim \Delta \infty} lim(1+Δ)∞=elimΔ∞ limn→∞nn=1\lim _{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1 n→∞limnn=1 limn→∞an=1\lim _{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1 n→∞limna=1
b）常见的需要讨论的极限
limx→∞ex={x→+∞:+∞x→−∞:0\lim _{x\to \infty} e^x = \left\{\begin{matrix} {x\to +\infty} :& +\infty \\ {x\to -\infty} :& 0 \end{matrix}\right. x→∞limex={x→+∞:x→−∞:+∞0 limx→∞arctanx={x→+∞:+π/2x→−∞:−π/2\lim _{x\to \infty} arctanx = \left\{\begin{matrix} {x\to +\infty} :& +\pi/2 \\ {x\to -\infty} :& -\pi/2 \end{matrix}\right. x→∞limarctanx={x→+∞:x→−∞:+π/2−π/2 limx→c[x]={x→c−:c−1x→c+:c注：[x]是Gauss取整函数\lim _{x\to c} [x] = \left\{\begin{matrix} {x\to c^-} :& c-1 \\ {x\to c^+} :&c \end{matrix}\right. \\ \text{注：[x]是Gauss取整函数}x→clim[x]={x→c−:x→c+:c−1c注：[x]是Gauss取整函数
c）一些常见的二级结论
limn→∞n[ln(n+1)−ln(n)]=1\lim _{n\to \infty} n[ln(n+1)-ln(n)]=1n→∞limn[ln(n+1)−ln(n)]=1
习题
1). 涉及幂指函数的处理
solve:limn→∞nn2+n+1n(n+1)n(5n−1)solve:\quad\lim _{n\to \infty} \frac{n^{\frac{n^2+n+1}{n}}}{(n+1)^n}(\sqrt[n]{5}-1)solve:n→∞lim(n+1)nnnn2+n+1(n5−1)
solution 1:
limn→∞nn2+n+1n(n+1)n(5n−1)=limn→∞en2+n+1nln(n)−nln(n+1)nln5=limn→∞nen[ln(n)−ln(n+1)]nnnln5=e−1ln5\lim _{n\to \infty} \frac{n^{\frac{n^2+n+1}{n}}}{(n+1)^n}(\sqrt[n]{5}-1)=\lim _{n\to \infty} \frac{e^{\frac{n^2+n+1}{n}ln(n)-nln(n+1)}}{n}ln5=\lim _{n\to \infty} \frac{ne^{n[ln(n)-ln(n+1)]}\sqrt[n]{n}}{n}ln5 =e^{-1}ln5n→∞lim(n+1)nnnn2+n+1(n5−1)=n→∞limnenn2+n+1ln(n)−nln(n+1)ln5=n→∞limnnen[ln(n)−ln(n+1)]nnln5=e−1ln5
solution 2: limn→∞nn2+n+1n(n+1)n(5n−1)=limn→∞=n⋅nn⋅nnn(n+1)nln5=limn→∞(1+−1n+1)nln5=elimn→∞−nn+1ln5=e−1ln5\lim _{n\to \infty} \frac{n^{\frac{n^2+n+1}{n}}}{(n+1)^n}(\sqrt[n]{5}-1)=\lim _{n\to \infty} =\frac{n\cdot n^n\cdot \sqrt[n]{n}}{n(n+1)^n}ln5=\lim _{n\to \infty} (1+\frac{-1}{n+1} )^nln5=e^{\lim _{n\to \infty} -\frac{n}{n+1} }ln5=e^{-1}ln5n→∞lim(n+1)nnnn2+n+1(n5−1)=n→∞lim=n(n+1)nn⋅nn⋅nnln5=n→∞lim(1+n+1−1)nln5=elimn→∞−n+1nln5=e−1ln5
notice： limn→∞(nn+1)n≠1\lim _{n\to \infty} (\frac{n}{n+1})^n \neq 1limn→∞(n+1n)n=1
2). 涉及阶乘的处理
solve:limn→∞(1+1n!n+n!n2)nsolve:\quad \lim _{n\to \infty} (1+\frac{1}{\sqrt[n]{n!}+\sqrt[n^2]{n!}})^n solve:n→∞lim(1+nn!+n2n!1)n
由于n!n2\sqrt[n^2]{n!}n2n!增长速度慢于 n!n\sqrt[n]{n!}nn!，故忽略前者，原极限计算等价于下面极限的计算：
limn→∞(1+1n!n)n\lim _{n\to \infty}(1+\frac{1}{\sqrt[n]{n!}})^nn→∞lim(1+nn!1)n
solution 1:
limn→∞(1+1n!n)n=limn→∞enn!n=eelnn−1n(ln1+ln2+ln3+⋯lnn)\lim _{n\to \infty}(1+\frac{1}{\sqrt[n]{n!}})^n=\lim _{n\to \infty} e^{\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}}=e^{e^{lnn-\frac{1}{n}(ln1+ln2+ln3+\cdots lnn)}} n→∞lim(1+nn!1)n=n→∞limenn!n=eelnn−n1(ln1+ln2+ln3+⋯lnn)notice thatlimn→∞elnn−1n(ln1+ln2+ln3+⋯lnn)=limn→∞e1n(ln1n+ln2n+ln3n+⋯+lnnn)=e∫01lnxdx=e\lim _{n\to \infty} e^{lnn-\frac{1}{n}(ln1+ln2+ln3+\cdots lnn)}=\lim _{n\to \infty} e^{\frac{1}{n}(ln \frac{1}{n}+ln \frac{2}{n}+ln \frac{3}{n}+\cdots+ln \frac{n}{n})} = e^{\int _0 ^1 lnx \mathrm{d}x}=en→∞limelnn−n1(ln1+ln2+ln3+⋯lnn)=n→∞limen1(lnn1+lnn2+lnn3+⋯+lnnn)=e∫01lnxdx=esolimn→∞(1+1n!n)n=ee\lim _{n\to \infty}(1+\frac{1}{\sqrt[n]{n!}})^n=e^e n→∞lim(1+nn!1)n=ee
solution 2:
补充 斯特林公式 n!∼2πn(ne)nn!\sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n n!∼2πn(en)n
limn→∞(1+1n!n)n=limn→∞enn!n=limn→∞een/2πn(ne)nn=limn→∞enen(2πn)12n=ee\lim _{n\to \infty}(1+\frac{1}{\sqrt[n]{n!}})^n=\lim _{n\to \infty} e^{\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}}=\lim _{n\to \infty}e^{e^{n/\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n }}}=\lim _{n\to \infty} e^{\frac{ne}{n(2\pi n)^{\frac{1}{2n} }}}=e^e n→∞lim(1+nn!1)n=n→∞limenn!n=n→∞limeen/n2πn(en)n=n→∞limen(2πn)2n1ne=ee
题目注：n!n2\sqrt[n^2]{n!}n2n!可以忽略同样可以用斯特林公式证明之。这道题是武老师视频课里面补充的一道题，两种解法都需要用到知识提要a)中第二个式子。
3). 涉及零因子消去
solvelimx→π/4(tanx)1cosx−sinxsolve\quad \lim _{x\to \pi/4}(tanx)^{\frac{1}{cosx-sinx}} solvex→π/4lim(tanx)cosx−sinx1
solution: limx→π/4(tanx)1cosx−sinx=limx→π/4[1+(tanx−1)]1cosx−sinx=limx→π/4etanx−1cosx−sinx\lim _{x\to \pi/4}(tanx)^{\frac{1}{cosx-sinx}}= \lim _{x\to \pi/4} [1+(tanx-1)]^{\frac{1}{cosx-sinx}}=\lim _{x\to \pi/4} e^{\frac{tanx-1}{cosx-sinx}}x→π/4lim(tanx)cosx−sinx1=x→π/4lim[1+(tanx−1)]cosx−sinx1=x→π/4limecosx−sinxtanx−1
这里对e指数帽子上的部分进行处理，观察到limx→π/4tanx−1cosx−sinx\lim _{x\to \pi/4}\frac{tanx-1}{cosx-sinx}limx→π/4cosx−sinxtanx−1 是一个0/00/00/0型的极限，可以用洛必达法则进行处理，但是做起来有点麻烦，可以做以下变形
limx→π/4tanx−1cosx−sinx=limx→π/4tanx−1cosx(1−tanx)=limx→π/4−1cosx=−2\lim _{x\to \pi/4}\frac{tanx-1}{cosx-sinx}=\lim _{x\to \pi/4}\frac{tanx-1}{cosx(1-tanx)}=\lim _{x\to \pi/4}\frac{-1}{cosx}=-\sqrt{2} x→π/4limcosx−sinxtanx−1=x→π/4limcosx(1−tanx)tanx−1=x→π/4limcosx−1=−2
limx→π/4(tanx)1cosx−sinx=e−2\lim _{x\to \pi/4}(tanx)^{\frac{1}{cosx-sinx}} =e^{-\sqrt{2}}x→π/4lim(tanx)cosx−sinx1=e−2
4). 涉及多项式系数
solvelimn→∞[xn(x−1)(x−2)…(x−n)]xsolve\quad \lim _{n\to \infty} [\frac{x^n}{(x-1)(x-2)\dots (x-n)} ]^x solven→∞lim[(x−1)(x−2)…(x−n)xn]x
solution：
分析题目极限应该为一个1∞1^\infty1∞型，可以凑重要极限，可以做以下变形
limn→∞[xn(x−1)(x−2)…(x−n)]x=limn→∞{1+[xn(x−1)(x−2)…(x−n)−1]}x=limn→∞[1+kxn−1(x−1)(x−2)…(x−n)]x=limn→∞ekxn(x−1)(x−2)…(x−n)]=ek\lim _{n\to \infty} [\frac{x^n}{(x-1)(x-2)\dots (x-n)} ]^x\\= \lim _{n\to \infty} {\{1+[\frac{x^n}{(x-1)(x-2)\dots (x-n)}-1]\} }^x \\=\lim _{n\to \infty} {[1+\frac{kx^{n-1}}{(x-1)(x-2)\dots (x-n)}]}^x\\=\lim _{n\to \infty} e^{\frac{kx^{n}}{(x-1)(x-2)\dots (x-n)}]}=e^{k}n→∞lim[(x−1)(x−2)…(x−n)xn]x=n→∞lim{1+[(x−1)(x−2)…(x−n)xn−1]}x=n→∞lim[1+(x−1)(x−2)…(x−n)kxn−1]x=n→∞lime(x−1)(x−2)…(x−n)kxn]=ek
其中kkk为xn−1x^{n-1}xn−1项的系数，观察可知为(n+1)n/2(n+1)n/2(n+1)n/2
5). 涉及一种利用极限定义的函数
一种使用极限定义的函数，题目难点主要在以下三个方面：
1. 极限本身很难算，需要代数变形、提因子等手段
2. 函数是分段函数，极限需要分左右极限
3. 题目看起来就难，心理作用考场上一看就难受报名费打水漂。。
求出下列函数的所有间断点
f(x)=limn→∞2e(n+1)x+1enx+xn+1f(x)=\lim _{n\to \infty} \frac{2e^{(n+1)x}+1}{e^{nx}+x^n+1} f(x)=n→∞limenx+xn+12e(n+1)x+1
解题方法：
1. 找出这个函数的自变量，写出所有可能导致极限值改变的情况（人为分了左右极限）
2. 在数轴上标出这些点的位置，在每一个点围成的区间内讨论函数的表达式
3. 计算点上的情况
f(x)={2exx>12exx=12exx∈(0,1)2exx=01x∈(−1,0)0x=−10x<−1f(x)=\left\{\begin{matrix}2e^x &x>1\\ 2e^x &x=1\\2e^x &x\in(0,1)\\2e^x &x=0\\1 &x\in (-1,0) \\0 &x =-1\\0 &x <-1 \end{matrix}\right. f(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧2ex2ex2ex2ex100x>1x=1x∈(0,1)x=0x∈(−1,0)x=−1x<−1
进一步
f(x)={2exx≥01x∈(−1,0)0x≤−1f(x)=\left\{\begin{matrix}2e^x &x\geq0\\ 1 &x\in (-1,0) \\0 &x \leq-1 \end{matrix}\right. f(x)=⎩⎨⎧2ex10x≥0x∈(−1,0)x≤−1
可以得到函数在0和-1处有两个跳跃间断点.
总结
这部分习题难度不是很大，但是需要细致的计算，特别是涉及多项式、涉及由极限定义的函数都要认真算。极限的题有一个大致方向，但是具体到细节是做代数变形，还是提零因子，还是凑重要极限，这些都要根据具体的题目来定，招无定式，法无定则，灵活使用等价、泰勒、拉格朗日中值、积分等方法。
第二部分 极限的四则运算
知识提要
1. 在f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x)极限都存在的情况下，两个极限的四则运算成立。若有一个极限不存在，极限的结果待定。
2. 一个对于极限的乘除，可先计算极限的非零因子。
习题
1). 经典易错题
solvelimx→+∞(1+1x)x2exsolve\quad \lim _{x\to +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x} solvex→+∞limex(1+x1)x2
经典错解：
观察分子是1∞1^\infty1∞型极限，凑重要极限得到
limx→+∞(1+1x)x2ex=limx→+∞ex⋅1xex=1\lim _{x\to +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x} = \lim _{x\to +\infty} \frac{e^{x\cdot \frac{1}{x} }}{e^x}=1 x→+∞limex(1+x1)x2=x→+∞limexex⋅x1=1
错解的根源在于违反了知识提要的第二点，在分母极限不存在的情况下优先计算了部分分子，得到了指数函数的底数e，尽管分子得到的是一个表达式（违反第二点常见的情况是算了某一个部分，这一部分的结果是一个常数，然后把常数带入极限式子里继续计算）。
正确的解法如下：
solution:
limx→+∞(1+1x)x2ex=limx→+∞ex2ln(1+1x)−x=limx→+∞ex2[1x−12x2+o(1x2)]−x=e−12\lim _{x\to +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x} =\lim _{x\to +\infty}e^{x^2ln(1+\frac{1}{x})-x}=\lim _{x\to +\infty}e^{x^2[\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})]-x}=e^{-\frac{1}{2}} x→+∞limex(1+x1)x2=x→+∞limex2ln(1+x1)−x=x→+∞limex2[x1−2x21+o(x21)]−x=e−21
2). 利用拉格朗日中值定理
solvelimx→+∞ln(sin2x+ex)−xln(arctan2x+e2x)−2xsolve\quad \lim _{x\to +\infty}\frac{ln(sin^2x+ex)-x}{ln(arctan^2x+e^2x)-2x} solvex→+∞limln(arctan2x+e2x)−2xln(sin2x+ex)−x
这道题用常规方法都难算的不得了，以下是一个方便的解法：
solution:
limx→+∞ln(sin2x+ex)−xln(arctan2x+e2x)−2x=limx→+∞ln(sin2x+ex)−lnexln(arctan2x+e2x)−lne2x=limx→+∞sin2xarctan2x⋅ξ2ξ1=1\lim _{x\to +\infty}\frac{ln(sin^2x+e^x)-x}{ln(arctan^2x+e^2x)-2x}=\lim _{x\to +\infty}\frac{ln(sin^2x+e^x)-lne^x}{ln(arctan^2x+e^2x)-lne^{2x}}=\lim _{x\to +\infty}\frac{sin^2x}{arctan^2x}\cdot \frac{\xi_2}{\xi_1}=1 x→+∞limln(arctan2x+e2x)−2xln(sin2x+ex)−x=x→+∞limln(arctan2x+e2x)−lne2xln(sin2x+ex)−lnex=x→+∞limarctan2xsin2x⋅ξ1ξ2=1
where ξ1∈(sin2x+ex,ex)\xi_1 \in(sin^2x+e^x,e^x)ξ1∈(sin2x+ex,ex), ξ2∈(arctan2x+e2x,e2x)\xi_2 \in(arctan^2x+e^2x,e^{2x})ξ2∈(arctan2x+e2x,e2x)
这里ξ2/ξ1\xi_2/\xi_1ξ2/ξ1可以算出来的原因在于limx→+∞ξ1=1\lim _{x\to +\infty} \xi_1=1limx→+∞ξ1=1且limx→+∞ξ2=1\lim _{x\to +\infty} \xi_2=1limx→+∞ξ2=1（通常利用中值定理求极限不会满足两个中值都是非零常数，这道题是特例）
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