线性时不变系统(LIT )

献给

        期末继续预习的我还有刺猬

DAY2

    很多物理过程都具有线性和时不变性, 因此都能用线性时不变系统来表征.无论在离散时间或连续时间情况下, 单位冲激函数的重要特性之一是: 一般信号都可以表示为延迟冲激的线性组合.这个事实, 在与叠加性和时不变性结合起来, 就能用线性时不变的单位冲激响应来完全表征任何一个线性时不变系统的特性.这样一种表示, 在离散时间情况下称为卷积和;在连续时间情况下称为卷积积分;

离散时间线性时不变系统: 卷积和

    1. 用脉冲表示离散信号如何把任何离散时间信号看成离散时间单位脉冲构成的关键是:要把一个离散时间信号当成一串单个脉冲想象啦.数学表示:x[n] = Σx[k]δ[n-k] (k from -∞ to +∞) ···①上面式子相当于把任意序列表示成一串位移的单位脉冲序列δ[n-k]的线性组合, 而这个线性组合式中的权因子就是x[k].也体现出了离散时间单位脉冲序列的 筛选性质 : 因为δ[n-k]仅当k是n时为非零. 从而就只保留了序列x[n].2. 离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应及卷积和表示式①筛选性质的重要性体现在于它把x[n]表示成一组加权的基本函数(移位单位脉冲)的叠加.一个线性系统对x[n]的响应就是系统对这些移位脉冲中的每一个响应加权后的叠加(可以叠加是因为线性系统的特性: 可加性 & 齐次性), 而且时不变性又意味着一个时不变系统对移动单位脉冲的响应就是未被移位的单位脉冲响应的移位. 将这两点结合在一起, 即可得到具有线性和时不变性的离散时间系统的卷积和表示.具体而言, 现在来考虑某一线性(但可能为时变的)系统对任一输入x[n]的响应. 由式①可将输入表示为一组移位单位脉冲的线性组合, 令hk[n]为该线性系统对移位单位脉冲δ[n-k]的响应, 那么根据线性系统的叠加性质, 该线性系统对输入x[n]的响应y[n]就是关于这些响应的加权线性组合.y[n] = Σx[k]hk[n-k] (k from -∞ to +∞) ···②由②式可知, 如果已知一个线性系统对每一个移位单位脉冲序列的响应那么系统对任何输入的响应都可求出.一个线性系统在时刻n时的响应就是在时间上每一点的输入值所产生的各个响应在该时刻n的叠加.一般来说, 在线性系统中, 对于不同的k值, 其响应hk[n]相互之间不必有什么关系. 但是, 若该线性系统也是时不变的, 那么这些对时间移位的单位脉冲的响应也全都相互移位了:hk[n] = h[n-k];那么对于线性时不变系统而言y[n] = Σx[k]h[n-k] (k from -∞ to +∞) ···③这个结果称为卷积和(叠加和), 并用符号记为:y[n] = x[n] * h[n];既然一个线性时不变系统对任意输入的响应可以用系统的对单位脉冲的响应来表示, 那么线性时不变系统的单位脉冲响应就完全刻画了系统的特征. (所以, 接下来就了解了解单位脉冲~~~)利用在每个单独输出样本上的叠加求和结果, 可以得出一种有用的方法: 用卷积和来想象y[n]的计算. 考虑一个特定的n值求y[n]的问题. 用图来展现这种计算的一种特别有用的方法是一开始就将信号x[k]和h[n-k]都看成k的函数, 将它们相乘就得到序列g[k] = x[k]h[n-k], 它可以看成在每一个时刻k, 输入x[k]对输出在时刻n做出的贡献, 这样就能得出如下结论: 将全部g[k]序列中的样本值相加就是在所选定时刻n的输出值.(引出了卷积计算的图解法: 将x[k]和h[n-k]都看成k的函数, 求出相交部分的和就行啦, 这就用到前面信号的自变量变换~~)

连续时间线性时不变系统: 卷积积分

    离散和连续之间有紧密的联系~~~类比1. 用冲激来表示连续时间信号x(t) = ∫x(τ)δ(t-τ)dτ ( τ from -∞ to +∞ )2. 连续时间线性时不变系统的单位冲激响应及卷积积分y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ ( τ from -∞ to +∞ )h(t): 为线性时不变系统对单位冲激的响应同样用符号记为y(t) = x(t) * h(t);图解法来计算卷积是很不错的方法!

线性时不变系统的性质

    1. 交换律性质y(t) = x(t) * h(t) = h(t) * x(t)简单说明:x(t) * h(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ ( τ from -∞ to +∞ );令 u = t-τ 替换积分变量ττ的积分区间(-∞, +∞), 考虑u和τ时把t看成常数, 所以u的区间也是(-∞, +∞)替换后得:x(t) * h(t) =  ∫x(t-u)h(u)du ( u from -∞ to +∞ );   = h(t) * x(t);              2. 分配律性质x(t) * ( h1(t) + h2(t) ) = x(t) * h1(t) + x(t) * h(t);简单说明: 由积分运算可直接推导出来(一个线性时不变系统是完全由它的冲激响应来表征)利用分配律, 可以讲一个复杂的卷积分为几个比较简单的卷积.3. 结合律性质x(t) * h1(t) * h2(t) = x(t) * ( h1(t) * h2(t) );简单说明: 由积分运算可直接推导出来(是一个重积分哦!)线性时不变系统的特性: 其总系统响应与系统级联次序无关.相比之下, 一般来说非线性系统的级联, 要想不改变总的响应, 其级联次序就不能改变.4. 有记忆和无记忆线性时不变系统无记忆系统: 一个系统任意时刻的输出只与该时刻的输入有关;对于一个离散时间线性时不变系统来说: 唯一能使这一点成立的就只有: 对 n != 0, h[n] = 0, 这时单位冲激响应为:h[n] = Kδ[n] ---> x[n]*h[n] = Kx[n];其中K = h[0]是一个常数, 卷积和就变为如下关系:y[n] = Kx[n];相反, 如果一个离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应h[n]对于n != 0不全为零, 这个系统称为有记忆系统.例如:  y[n] = x[n] + x[n-1]--->  h[n] = δ[n] + δ[n-1] (单位脉冲响应: n = 1的时候部位零)如果 K = 1, 那么系统就变为恒等系统:x[n] = x[n] * δ[n];x(t) = x(t) * δ(t);这刚好就是冲激函数的筛选性质~~~5. 线性时不变系统的可逆性考虑冲激响应为h(t)的连续时间线性时不变系统, 仅当存在一个逆系统, 其与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时, 这个系统才是可逆的.给定一个系统, 其冲激响应为h(t), 其逆系统的冲激响应为h1(t)， 总冲激响应就为h(t)*h1(t), 又要满足逆系统的冲激响应条件(第一个系统的输入等于总系统的输出), 于是: h(t)*h1(t) = δ(t) , 离散时间情况下: h[n]*h1[n] = δ[n];考虑一个纯时移组成的线性时不变系统: y(t) = x(t-t0) , t0 > 0则系统是延时的, t0 < 0则系统是超前的. 若t0=0, 系统就是恒等的, 因此是无记忆系统.令系统输入为δ(t), 则可得到系统的单位冲激响应:h(t) = δ(t-t0);x(t) = x(t) * δ(t-t0);为了从输出中恢复输入, 即其逆系统的作用是将输出在移回来, 那么具有这种补偿时间移位的系统就是其逆系统, 即:h1(t) = δ(t+t0);h1(t)*h(t) = δ(t);再考虑一个线性时不变系统, 其单位脉冲响应为:h[n] = u[n];其系统响应为:y[n] = Σx[k]u[n-k] (k from -∞ to +∞);y[n] = Σx[n-k]u[k] (k from 0 to +∞);y[n] = Σx[k] (k from -∞ to n);      {它是一个相加器或称为累加器}它是可逆的逆系统为:y[n] = x[n] - x[n-1]; (一次差分)其单位脉冲响应为:h1[n] = δ[n] - δ[n-1];  h1[n]*h[n] = h[n] - h[n-1] = δ[n]   6. 线性时不变系统的因果性一个因果系统的输出只取决于现在和过去的输入值. 一个离散时间线性时不变系统若要是因果的, y[n]就必须与k>n的x[k]无关, 为此乘以x[k]的所有系数h[n-k]对于k>n都必须为零, 那么这就要求h[n] = 0, n < 0. 一个因果线性时不变系统的冲激响应在宠姬出现之前必须为零. 一个线性系统的因果性就等效于初始松弛(initial rest)的条件; 也就是说一个因果系统的输入在某个时刻点以前是零, 那么其输出在那个时间前也是零.(因果性和初始松弛条件的等效只适合线性系统). 一个线性时不变系统的因果性就等效于它的冲激响应是一个因果信号.7.  线性时不变系统的稳定性如果一个系统对每一个有界的输入其输出都是有界的, 就称该系统是稳定的.|x[n]| <= B, 对所有的n(B为输入上界)|y[n]| = |Σh[k]x[n-k]| (k from -∞ to +∞)|y[n]| <= Σ|h[k]| |x[n-k]| (k from -∞ to +∞)|y[n]| <= BΣ|h[k]| (k from -∞ to +∞)就可以得出, 如果单位脉冲响应是 绝对可和(absolutely summable) 的即:Σ|h[k]|  < ∞ (k from -∞ to +∞)同理, 对于连续时间系统, 若单位脉冲式 绝对可积(absolutely integrable) 的即∫|h(τ)|dτ < ∞ (τ from -∞ to +∞)则该系统是稳定的.8. 线性时不变系统的单位阶跃响应单位阶跃响应(unit step response): s(t), s[n];s[n] = u[n] * h[n] = Σh[k] (k from -∞ to n) (一个累加器)s(t) = ∫h(τ)dτ < ∞ (τ from -∞ to t) (积分器)单位冲激响应是单位阶跃响应的导数(一次差分)h[n] = s[n] - s[n-1];h(t) = s'(t);

用微分和差分方程描述的因果线性时不变系统

    一类极为重要的连续时间系统是其输入输出关系用 线性常系数微分方程(线性常系数差分方程) 描述的系统.1. 线性常系数微分方程考虑一个一阶微分方程:y'(t) + 2y(t) = x(t), x(t): 系统的输入, y(t): 系统的输出微分方程: 它们所给出的是该系统的一种隐含的特性, 也就是说, 它们所描述的输入输出的关系并不是将系统的输出作为输入函数的一种明确的表达式. 为了得到这个明确的表达式, 就必须姐这个微分方程. 要得到一个解, 就需要比单独由这个微分方程提供的信息提供更多的信息. 例如, 当汽车一直受到 1m/s2 的固定加速度持续加速了10秒, 要想知道10s末的速度就需要知道小车的初速度.一般来说, 为了解一个微分方程, 必须给定一个或多个附加条件.关于线性常系数微分方程及其表示的系统可以说明很重要的几点. 首先, 对某个输入x(t)的响应一般都是由一个 特解 和一个 齐次解(即输入为零时该微分方程的解) 组成. (齐次解往往称为系统的自然响应, 很好理解因为外部输入为零).2. 线性常系数差分方程N阶线性常系数差分方程:ΣAky[n-k](k from 0 to N) = ΣBkx[n-k](k from 0 to M);与微分方程类似, 有一个特解和一个齐次解.利用输入和以前的输出求输出的过程是一个递归过程, 这样形式的方程称为递归方程.3. 一阶系统的方框图表示由线性常系数差分和微分方程描述的系统一个重要特点是: 能以很简单而且很自然的方式用若干基本运算的方框图互联来表示.

        ····因为积分器可以很方便的用放大器来实现, 就直接导致了模拟的实现, 这种实现既是早期模拟计算机, 又是当今模拟计算机的基础.

奇异函数

    从另一个角度来审视冲激函数, 以便对这一重要的理想化信号得到进一步的认识.1. 作为理想化段脉冲的单位冲激x(t) = x(t) * δ(t);因此, 如果取x(t) = δ(t), 就有δ(t) = δ(t) * δ(t);2. 通过卷积定义单位冲激x(t) = x(t) * δ(t);若令x(t) = 1;1 = ∫δ(τ)dτ；所以, 单位冲激的面积为1.3. 单位冲激偶和其他奇异函数单位冲激是一类称为奇异函数的信号中的一种, 其中每一种信号都是借助于它在卷积运算中的作用来定义的.考虑输入是输出的导数的线性时不变系统, 即:y(t) = x'(t);即有:x'(t) = u1(t) * x(t);u1(t), 单位冲激偶.u1(t) * u(t) = δ(t);考虑输入是输出的积分的线性时不变系统, 即:y(t) = ∫x(τ)dτ (τ from -∞ to t)即有:∫x(τ)dτ = u(t) * x(t);u-2(t) = u(t) * u(t) = ∫u(τ)dτ = tu(t), 单位斜坡函数; u-1(t) * u1(t) = u0(t); (u-k(t): k个积分器级联, uk(t): k个微分器级联)

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