浅谈BST

前言

最近不顺心的事情有点多，再加上赶ptaL2 的题单，很久没做知识总结了，现在pta的题目告一段落，参考了某大佬（某卷王）总结的知识点，鸣谢大佬！总结一下BST问题的知识点，供以后参考。
封面：

站在巨人（卷王）的肩上，才能看（卷）的更远

二叉搜索树的性质

一棵二叉搜索树可被递归地定义为具有下列性质的二叉树：对于任一结点

其左子树中所有结点的键值小于该结点的键值；
其右子树中所有结点的键值大于等于该结点的键值；
其左右子树都是二叉搜索树。

乍一看，其实感觉和二叉堆很像，不过二叉堆左右儿子之间没有可比性，因为二叉堆是根据与父亲节点大小关系建堆的，兄弟节点似乎无法比较，所以同一个序列，以不同顺序输入的生成的二叉堆序列也自然不同。
二叉搜索树也有类似的性质，但是二叉搜索树输入的节点不会发生位置交替，这和二叉堆边插入边排序不同，所以，同一组数字不同顺序输入二叉搜索树也会导致二叉搜索树结构不同。假如输入的数字过于玄学，会导致树的左右子树不平衡，如果将两个子树平衡，就变成了平衡树(Treap)

二叉搜索树的操作

必要的初始化

#define maxn 100000
#define INF -1
int BST[maxn];
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);for (int i = 0; i < maxn; i++)BST[i] = INF;
}

建树

void build(int root, int x)
{if (BST[root] == INF){BST[root] = x;return;}if (BST[root] >= x)     //说明该节点应该在其左边build(root * 2, x); //左儿子比父亲小，右儿子更大elsebuild(root * 2 + 1, x); //右儿子比父亲大，往右边放
}

前序遍历

void pre_order(int root)
{if (BST[root] == INF)return;cout << BST[root] << " ";pre_order(root * 2);pre_order(root * 2 + 1);
}

中序遍历

中序遍历其实就是序列从小到大排序

void in_order(int root)
{if (BST[root] == INF)return;in_order(root * 2);cout << BST[root] << " ";in_order(root * 2 + 1);
}

后序遍历

void post_order(int root)
{if (BST[root] == INF)return;post_order(root * 2);post_order(root * 2 + 1);cout << BST[root] << " ";
}

找最大

int get_max(int root) //一直往右走
{if (BST[root * 2 + 1] == INF)return BST[root];elsereturn get_max(root * 2 + 1);
}

找最小

int get_min(int root) //一直往左走
{if (BST[root * 2] == INF)return BST[root];elsereturn get_min(root * 2);
}

删除节点

void modify(int root, int x) //删除操作
{if (x > BST[root]) //往右找modify(root * 2 + 1, x);else if (x < BST[root]) //往左找modify(root * 2, x);else //找到了，开始修改{if (BST[2 * root] == INF && BST[root * 2 + 1] == INF){BST[root] = INF; //没有儿子，直接封杀}else if (BST[2 * root] == INF && BST[root * 2 + 1] != INF) //左子树存在，右子树无{BST[root] = BST[root * 2 + 1];modify(root * 2 + 1, BST[root * 2 + 1]);}else if (BST[2 * root] != INF && BST[root * 2 + 1] == INF) //左子树空，右子树存在{BST[root] = BST[root * 2];modify(root * 2, BST[root * 2]);}else if (BST[root * 2] != INF && BST[root * 2 + 1] != INF){//有两种修改方式！//第一种是修改用后驱节点(右子树最小节点更换)//第二种是用前驱节点修改(左子树最大节点更换)//这里演示前者int post_point = get_min(root * 2 + 1);BST[root] = post_point;modify(root * 2 + 1, post_point);}}
}

汇总代码，实弹演习

样例
7
8 10 11 8 6 7 5

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100000
#define INF -1int BST[maxn];
void build(int root, int x)
{if (BST[root] == INF){BST[root] = x;return;}if (BST[root] >= x)     //说明该节点应该在其左边build(root * 2, x); //左儿子比父亲小，右儿子更大elsebuild(root * 2 + 1, x); //右儿子比父亲大，往右边放
}
void pre_order(int root)
{if (BST[root] == INF)return;cout << BST[root] << " ";pre_order(root * 2);pre_order(root * 2 + 1);
}
void in_order(int root)
{if (BST[root] == INF)return;in_order(root * 2);cout << BST[root] << " ";in_order(root * 2 + 1);
}
void post_order(int root)
{if (BST[root] == INF)return;post_order(root * 2);post_order(root * 2 + 1);cout << BST[root] << " ";
}
void floor_order(int root)
{queue<int> q;q.push(root);while (q.empty() == false){int fa = q.front();cout << BST[fa] << " ";q.pop();if (BST[fa * 2] != INF)q.push(fa * 2);if (BST[fa * 2 + 1] != INF)q.push(fa * 2 + 1);}
}
int get_min(int root) //一直往左走
{if (BST[root * 2] == INF)return BST[root];elsereturn get_min(root * 2);
}
int get_max(int root) //一直往右走
{if (BST[root * 2 + 1] == INF)return BST[root];elsereturn get_max(root * 2 + 1);
}
int search(int now, int x) //查找某一个特殊的元素
{if (x > BST[now])return search(now * 2 + 1, x);else if (x < BST[now])return search(now * 2, x);elsereturn now;
}
void modify(int root, int x) //删除操作
{if (x > BST[root]) //往右找modify(root * 2 + 1, x);else if (x < BST[root]) //往左找modify(root * 2, x);else //找到了，开始修改{if (BST[2 * root] == INF && BST[root * 2 + 1] == INF){BST[root] = INF; //没有儿子，直接封杀}else if (BST[2 * root] == INF && BST[root * 2 + 1] != INF) //左子树存在，右子树无{BST[root] = BST[root * 2 + 1];modify(root * 2 + 1, BST[root * 2 + 1]);}else if (BST[2 * root] != INF && BST[root * 2 + 1] == INF) //左子树空，右子树存在{BST[root] = BST[root * 2];modify(root * 2, BST[root * 2]);}else if (BST[root * 2] != INF && BST[root * 2 + 1] != INF){//有两种修改方式！//第一种是修改用后驱节点(右子树最小节点更换)//第二种是用前驱节点修改(左子树最大节点更换)//这里演示前者int post_point = get_min(root * 2 + 1);BST[root] = post_point;modify(root * 2 + 1, post_point);}}
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0), cout.tie(0);for (int i = 0; i < maxn; i++)BST[i] = -1;int n;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){int remp;cin >> remp;build(1, remp);}pre_order(1);cout << endl;post_order(1);cout << endl;in_order(1);cout << endl;cout << get_max(1) << endl;cout << get_min(1) << endl;modify(1, 8);in_order(1);cout << endl;return 0;
}

运行结果

插一道题

这道题我是参考LP大佬的解法，鸣谢大佬！解法很巧妙，我们看题，它题目告诉我们它输入的序列有可能是正常的二叉搜索树，也可能是镜像的，那咋办捏？
判断两遍就可以了！先用当正常的遍历一下，试试水，如果成了就直接pass，不成了的话就用镜像的方式遍历一次
那么，我们怎么判断一个遍历是不是一个二叉搜索树捏？
以正常的为例子！
看图！

字有点丑不好意思我的锅
它生成的前序遍历应该是：

你会发现：对一段前序遍历，第一个元素是根节点，蓝色箭头之前到根节点都是小于根节点的！而绿色箭头都是大于根节点的！
而这两个箭头指的也是根节点的左右子树！
所以直接按这个规律进行判断！判断成功，就判断它的子树是否满足！

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100000
vector<int> ans;
int pre[maxn];
void judge1(int start, int end) //判断是否是正序
{                               // start是根节点if (start > end)return;int node1 = start + 1;int node2 = end;while (node1 <= end && pre[node1] < pre[start])node1++; //从前往后寻找比根节点小的最后一个值while (node2 > start && pre[node2] >= pre[start])node2--; //从后往前寻找比根节点大的最后一个值node1--; //多加了node2++; //多减了// cout<<node1<<" "<<node2<<endl;if (node2 != node1 + 1) //只有两个指针中间只差一个(根节点)return;judge1(start + 1, node1);  //验证左子树judge1(node2, end);         //查右子树ans.push_back(pre[start]); //后序遍历，最后放入
}
void judge2(int start, int end) //判断是否是镜像
{if (start > end)return;int node1 = start + 1;int node2 = end;while (node1 <= end && pre[node1] >= pre[start])node1++;while (node2 >= start && pre[node2] < pre[start])node2--;node1--;node2++;if (node2 != node1 + 1)return;judge2(start + 1, node1);judge2(node2, end);ans.push_back(pre[start]);
}
int main()
{int num;scanf("%d", &num);for (int i = 1; i <= num; i++){scanf("%d", &pre[i]);}judge1(1, num);         //先正序构造一下，试一下水if (ans.size() != num) //试水失败，说明可能是镜像，再试一次水{ans.clear();judge2(1, num);}if (ans.size() == num){printf("YES\n");for (int i = 0; i < num; i++){printf("%d", ans[i]);if (i != num - 1)printf(" ");}}else{printf("NO\n");}return 0;
}

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