《线性代数及其应用》阅读笔记：一 1.5 线性方程组的解集
《线性代数及其应用》阅读笔记：一 1.5 线性方程组的解集
文章目录
- 《线性代数及其应用》阅读笔记：一 1.5 线性方程组的解集
- 一、 齐次线性方程组
- 1.1. 定义
- 1.2. 解集的存在性
- 1.3. 求解步骤
- 1.4. 解集的性质
- 二、非齐次线性方程组
- 2.1. 定义
- 2.2. 解集的存在性
- 2.3. 求解步骤
- 2.4. 解集的性质
一、 齐次线性方程组
1.1. 定义
齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。
形如：
写做：Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec 0Ax=0，其系数矩阵为A- m*n.
经过初等行变换，系数矩阵A化简到行阶梯形矩阵为：A′−rA'-rA′−r(非零行行数)∗n*n∗n.
1.2. 解集的存在性
| 1- 齐次线性方程组 解的构成： |
|---|
| 1）平凡解/零解：x⃗=0⃗\vec x=\vec 0x=0. |
| 2）非平凡解/非零解：当x⃗\vec xx至少有一个自由变量时。自由变量的变化带来其他变量值的变化。 |
| 2- 齐次线性方程组 解的情况： |
|---|
| 1）唯一解：即只有平凡解 x⃗=0⃗\vec x=\vec 0x=0. |
| 2）无穷解：包括平凡解和非平凡解，此时x⃗\vec xx中至少有一个自由变量。 |
| - 齐次线性方程组一定有解- 必有零解，不存在无解的情况。 |
1.3. 求解步骤
| - | 齐次线性方程组的求解步骤 |
|---|---|
| 1. | 系数矩阵A 初等行变换， 化为行阶梯形矩阵A’； |
| 2. |
- 若r(A)=r=n（有效方程个数=未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x⃗=0⃗\vec x=\vec0x=0，求解结束； - 若r(A)=r<n（有效方程个数<未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤： |
| 3. | 继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组； |
| 4. | 选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，得到通解. |
1.4. 解集的性质
| 3- 齐次线性方程组 解的性质： | |
|---|---|
| 1）唯一解 | 2）无穷解 |
| 未知数个数n(列)=有效方程个数r(行) | 未知数个数n(列)>方程个数m(行) |
| rank(A)=n | rank(A)<n |
| detA≠0/A≠0 | detA==0 |
| 两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。 | |
| 解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。 |
二、非齐次线性方程组
2.1. 定义
非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组。
写做：Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec bAx=b，其系数矩阵为A- m*n.
经过初等行变换，系数矩阵A化简到行阶梯形矩阵为：A′−rA'-rA′−r(非零行行数)∗n*n∗n.
[PS：r(A)表示系数矩阵的秩，r(A,b)表示增广矩阵的秩]
2.2. 解集的存在性
| 1- 非齐次线性方程组 的通解： |
|---|
|
x⃗=p⃗+tv⃗\vec x=\vec p+t\vec vx=p+tv， 其中，p⃗\vec pp是特解，x⃗=tv⃗\vec x=t\vec vx=tv是齐次线性方程组Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec 0Ax=0的解。 |
| 理解：非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*） |
| 几何意义：通过p⃗\vec pp 且与v⃗\vec vv 平行的直线方程。 |
| 2- 非齐次线性方程组 解的存在性： |
|---|
| 1）唯一解：即只有平凡解 x⃗=0⃗\vec x=\vec 0x=0。 |
| 2）无穷解：解x⃗\vec xx 中至少有一个自由变量。 |
| 3）无解。 |
2.3. 求解步骤
| - | 非齐次线性方程组的求解步骤 |
|---|---|
| 1. | 增广矩阵(A,b) 初等行变换， 化为行阶梯形矩阵(A,b)’； |
| 2. |
- 若r(A)<r(A,b)，则方程组无解； - 若r(A)=r(A,b)，则原方程组有解，进一步将增广矩阵化为行最简形； |
| 3. |
- 若r(A)=n，则方程组有唯一解； - 若r(A)<n，则方程组有无穷解，进行以下步骤： |
| 4. | 选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，得到通解. |
2.4. 解集的性质
| 3- 非齐次线性方程组 解的性质： | |
|---|---|
| 1）无解 | 2）有解 |
| 系数矩阵的秩<增广矩阵的秩 | 系数矩阵的秩=增广矩阵的秩 |
| r(A)<r(A,b) | r(A)=r(A,b) |
| 出现形如‘{0=b}’的方程 | 不存在‘0=b’ |
| 4- 非齐次线性方程组 有解时 的性质： | |
|---|---|
| 1）唯一解 | 2）无穷解 |
| 未知数个数n(列)=有效方程个数r(行) | 未知数个数n(列)>化简后有效方程个数r(行) |
| r(A)=r(A,b)=n | r(A)=r(A,b)<n |
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