凸优化第一【凸集与凸优化简介】

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凸优化是一个简单的优化问题，优化-数学规划概念相同，本课程主要学习的内容包括：凸集、凸函数、凸优化和有关凸优化的一些算法。

优化：从一个可行解的集合中，寻找出最优的元素，如

数据拟合问题，散点，非曲线，最小二乘问题，多用户能量控制问题，图像处理优化问题，恢复不带噪声的图像，TV-L2模型，最短路径问题，约束问题。

优化问题三段定义【回忆】

两个或以上X*，构成最优解集

线性规划，单纯形法

最优解一般在顶点或边上

凸规划/非凸规划【凸规划问题，是容易解决的优化问题，非凸难解决】。

满足以下要求，为凸函数：

以上线性规划和下方凸规划相关，满足上则满足下

凸优化问题满足：

目标函数是凸函数
可行解集是凸集

凸函数：没法找到一些不相邻的最低的点

光滑/非光滑，连续/离散【针对可行域，都可能是非凸问题】

单目标/多目标， min f1,f2,pare front[]折衷，加权为单目标

凸规划、单目标。函数光滑容易，讲

目标：简化问题，描述优化，问题凸优化化=90%

主要内容：

皆可凸优化，平方

描述例1

仿射集【如凸集故事】：/仿射组合/凸组合

证明过程【两点推广到多点（三点）】：

与C相关的子空间V【这个平移x0的仿射集有很好的性质】：

如，

子空间一定是经过原点的，因为C一定有一点X0，而V减掉了它

证明：

线性方程组的解集一定是个仿射集

构造尽可能小的仿射集

仿射包：

两点直线可定，三点平面可定【全包含】

凸集：

仿射集是一个凸集的特例

X1,………Xk的凸组合：

凸包：一个集合构造【扩大】出来最简单的凸集

离散集合的凸包：边缘绑起来【包：包含】

锥，凸锥：【凸锥一定经过原点】

凸锥组合，凸锥包：

关系：

任意的一个点一定是仿射集，也是凸集

空集既是仿射集，又是凸集，又是凸锥

九个概念，组合思想：

超平面，半空间

多面体

球和椭球

证明球内凸集

椭球：XT A X

奇异值，ATA【对称，防止，特征值大于等于零，对其开方为A的奇异值】

奇异值是椭球两轴长

多面体

单纯形【是特殊多面体】的证明：

对称矩阵，对称半正定矩阵，对称正定矩阵三个集合都是凸锥：

可用定义证明

凸集：球，椭球，多面体【有很多面的，放的东西】，单纯形

单纯形定义：点，线性无关，凸包

矩阵空间

凸集变换：

凸集交集为凸集，两个凸集的和是凸的【S1+S2】，凸加非凸可能凸
凸集仿射变换【映射、逆映射】仍是凸集【例如皮球拉伸】
缩放与移位都是保凸的

线性矩阵不等式，的解集也是个凸集

椭圆是球的仿射映射

透视函数【降维】，最后一个为正

线性分数函数

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