关于Lucene的词典FST深入剖析

搜索引擎为什么能查询速度那么快？
核心是在于如何快速的依据查询词快速的查找到所有的相关文档，这也是倒排索引（Inverted Index）的核心思想。那么如何设计一个快速的(常量，或者1)定位词典的数据结构就显得尤其重要。简单来说，我们可以采用HashMap， TRIE， Binary Search Tree， Tenary Search Tree等各种数据结构来实现。

那么开源的搜索引擎包Lucene是怎么来设计的呢？Lucene采用了一种称为FST（Finite State Transducer）的结构来构建词典，这个结构保证了时间和空间复杂度的均衡，是Lucene的核心功能之一。

关于FST（Finite State Transducer）
FST类似一种TRIE树。

使用FSM(Finite State Machines)作为数据结构
FSM(Finite State Machines)有限状态机: 表示有限个状态（State）集合以及这些状态之间转移和动作的数学模型。其中一个状态被标记为开始状态，0个或更多的状态被标记为final状态。
一个FSM同一时间只处于1个状态。FSM很通用，可以用来表示多种处理过程，下面的FSM描述了《小猫咪的一天》。

其中“睡觉”或者“吃饭”代表的是状态,而“提供食物”或者“东西移动”则代表了转移。图中这个FSM是对小猫活动的一个抽象（这里并没有刻意写开始状态或者final状态），小猫咪不能同时的即处于“玩耍”又处于“睡觉”状态，并且从一个状态到下一个状态的转换只有一个输入。“睡觉”状态并不知道是从什么状态转换过来的，可能是“玩耍”，也可能是”猫砂窝”。

如果《小猫咪的一天》这个FSM接收以下的输入:

提供食物
有大声音
安静
消化食物

那么我们会明确的知道，小猫咪会这样依次变化状态：睡觉->吃饭->躲藏->吃饭->猫砂窝.

以上只是一个现实中的例子，下面我们来看如何实现一个Ordered Sets,和Map结构。

Ordered Sets
Ordered Sets是一个有序集合。通常一个有序集合可以用二叉树、B树实现。无序的集合使用hash table来实现. 这里，我们用一个确定无环有限状态接收机（Deterministric acyclic finite state acceptor, FSA）来实现。

FSA是一个FSM(有限状态机)的一种，特性如下:

确定：意味着指定任何一个状态，只可能最多有一个转移可以访问到。
无环：不可能重复遍历同一个状态
接收机：有限状态机只“接受”特定的输入序列，并终止于final状态。

下面来看，我们如何表示只有一个key：”jul“ 的集合。FSA是这样的：

当查询这个FSA是否包含“jul”的时候，按字符依序输入。

输入j，FSA从0->1
输入u, FSA从1->2
输入l，FSA从2->3

这个时候，FSA处于final状态3，所以“jul”是在这个集合的。
设想一下如果输入“jun”，在状态2的时候无法移动了，就知道不在这个集合里了。
设想如何输入“ju”, 在状态2的时候，已经没有输入了。而状态2并不是final状态，所以也不在这个集合里。
值得指出的是，查找这个key是否在集合内的时间复杂度，取决于key的长度，而不是集合的大小。

现在往FSA里再加一个key. FSA此时包含keys:”jul”和“mar”。
这里变化很小，没有增加新的状态，只是多了一个转移而已。

下面来看一下由“october”，“november”,”december”构成的FSA.
它们有共同的后缀“ber”，所以在FSA只出现了1次。其中2个有共同的后缀”ember”，也只出现了1次。

那么我们如何来遍历一个FSA表示的所有key呢，我们以前面的”jul”，“jun”,”mar”为例：

遍历算法是这样的：

初始状态0， key=””
->1, key=”j”
->2, key=”ju”
->3, key=”jul”, 找到jul
2<-, key=”ju”
->3, key=”jun”, 找到jun
2<-, key=”ju”
1<-, key=”j”
0<-, key=””
->4, key=”m”
->5, key=”ma”,
->3, key=”mar”,找到mar

这个算法时间复杂度O(n),n是集合里所有的key的大小, 空间复杂度O(k),k是结合内最长的key字段length。

Ordered maps
Ordered maps就像一个普通的map，只不过它的key是有序的。我们来看一下如何使用确定无环状态转换器（Deterministic acyclic finite state transducer， FST）来实现它。

FST是也一个有限状态机（FSM）,具有这样的特性：

确定：意味着指定任何一个状态，只可能最多有一个转移可以遍历到。
无环：不可能重复遍历同一个状态
transducer：接收特定的序列，终止于final状态，同时会输出一个值。
FST和FSA很像，给定一个key除了能回答是否存在，还能输出一个关联的值。

下面来看这样的一个输入：“jul:7”, 7是jul关联的值，就像是一个map的entry.

这和对应的有序集合基本一样，除了第一个0->1的转换j关联了一个值7. 其他的转换u和l,默认关联的值是0,这里不予展现。

那么当我们查找key:”jul”的时候，大概流程如下：

初始状态0
输入j, FST从0->1， value=7
输入u, FST从1->2， value=7+0
输入l，FST从2->3, value=7+0+0
此时，FST处于final状态3，所以存在jul，并且给出output是7.

我们再看一下，加入mar:3之后，FST变成什么样：

同样的很简单，需要注意的是mar自带的值3放在了第1个转移上。这只是为了算法更简单而已，事实上，可以放在其他转移上。

如果共享前缀，FST会发生什么呢？这里我们继续加入jun:6。

和sets一样，jun和jul共享状态3，但是有一些变化。

0->1转移，输出从7变成了6
2->3转移，输入l，输出值变成了1。

这个输出变化是很重要的，因为他改变了查找jul输出值的过程。

初始状态0
输入j, FST从0->1， value=6
输入u， FST从1->2， value=6+0
输入l，FST从2->3, value=6+0+1
最终的值仍旧是7，但是走的路径却是不一样的。
那查找jun是不是也是正确的呢？

初始状态0
输入j, FST从0 -> 1， value=6
输入u，FST从1 -> 2， value=6+0
输入n，FST从2 -> 3, value=6+0+0
从上可知，jun的查询也是正确的。FST保证了不同的转移有唯一的值，但同时也复用了大部分的数据结构。

实现共享状态的关键点是：每一个key,都在FST中对应一个唯一的路径。因此，对于任何一个特定的key，总会有一些value的转移组合使得路径是唯一的。我们需要做的就是如何来在转移中分配这些组合。

key输出的共享机制同样适用于共同前缀和共同后缀。比如我们有tuesday:3和thursday:5这样的FST:

2个key有共同的前缀t，共同后缀sday。关联的2个value同样有共同的前缀。3可以写做3+0，而5可以写作：3+2。这样很好的让实现了关联value的共享。

上面的这个例子，其实有点简单化，并且局限。假如这些关联的value并不是int呢？实际上，FST对于关联value(outputs)的类型是要求必须有以下操作（method）的。

加（Addition）
减 (Subtraction)
取前缀 (对于整数来说，就是min)

FST的构建

前面，一直没有提到如何构建FST。构建相对于遍历来说，还是有些复杂的。
为了简单化，我们假设set或者map里的数据是按字典序加入的。这个假设是很沉重的限制，不过我们会讲如何来缓解它。

为了构建FSM，我们先来看看TRIE树是如何构建的。

TRIE树的构建
TRIE可以看做是一个FSA,唯一的一个不同是TRIE只共享前缀，而FSA不仅共享前缀还共享后缀。

假设我们有一个这样的Set: mon,tues,thurs。FSA是这样的：

相应的TRIE则是这样的，只共享了前缀。

TRIE有重复的3个final状态3，8，11. 而8，11都是s转移，是可以合并的。

构建一个TRIE树是相当简单的。插入1个key，只需要做简单的查找就可以了。如果输入先结束，那么当前状态设置为final；如果无法转移了，那么就直接创建新的转移和状态。不要忘了最后一个创建的状态设置为final就可以了。

FST的构建
构建FST在很大程度上和构建FSA是一样的，主要的不同点是，怎么样在转移上放置和共享outputs。

仍旧使用前面提到的例子，mon,tues和thurs，并给他们关联相应的星期数值2，3和5.

从第1个key, mon:2开始：

这里虚线代表，在后续的insert过程中，FST可能有变化。

需要关注的是，这里只是把2放在了第1个转移上。技术上说，下面这样分配也是正确的。

只不过，把output放在靠近start状态的算法更容易写而已。

下面继续把thurs:5插入：

就像FSA的insert一样，插入thurs之后，我们可以知道FST的mon部分（蓝色）就不会再变了。

由于mon和thurs没有共同的前缀，只是简单的2个map中的key. 所以他们的output value可以直接放置在start状态的第1个转移上。

下面，继续插入tues:3，
这引起了新的变化。有一部分被冻住了，并且知道以后不会再修改了。output value也出现了重新的分配。因为tues的output是3，并且tues和thurs有共同的前缀t, 所以5和3的prefix操作得出的结果就是3. 状态0->状态4的value被分配为3，状态4->状态5设置为2。

我们再插入更多的key, 这次插入tye:99看发生什么情况：
插入tye，导致”es”部分被冻住，同时由于共享前缀t, 状态4->状态9的输出是99-3=96。

最后一步，结束了，再执行一次冻住操作。

最终的FST长这样：
Lucene FST
上一部分，对于FST的概念以及构建进行了详细的介绍。本部分将对Lucene FST的实现以及具体进行详细的分析。
Lucene关于FST相关的代码在package:org.apache.lucene.util.fst。

从org.apache.lucene.util.fst.Builder看起，这个是构建FST的Builder：
Builder通过泛型T，从而可以构建包含不同类型的FST。我们重点关注属性。

从其中插入数据add()方法看起：

/** Add the next input/output pair.  The provided input*  must be sorted after the previous one according to*  {@link IntsRef#compareTo}.  It's also OK to add the same*  input twice in a row with different outputs, as long*  as {@link Outputs} implements the {@link Outputs#merge}*  method. Note that input is fully consumed after this*  method is returned (so caller is free to reuse), but*  output is not.  So if your outputs are changeable (eg*  {@link ByteSequenceOutputs} or {@link*  IntSequenceOutputs}) then you cannot reuse across*  calls. */public void add(IntsRef input, T output) throws IOException {...// prefixLenPlus1是计算出input和lastInput具有公共前缀的位置final int prefixLenPlus1 = pos1+1;// 1.新插入的节点放到frontier数组，UnCompileNode表明是新插入的，以后还可能会变化，还未放入FST内。if (frontier.length < input.length+1) {final UnCompiledNode<T>[] next = ArrayUtil.grow(frontier, input.length+1);for(int idx=frontier.length;idx<next.length;idx++) {next[idx] = new UnCompiledNode<>(this, idx);}frontier = next;}// minimize/compile states from previous input's// orphan'd suffix// 2.从prefixLenPlus1, 进行freeze冰冻操作, 添加并构建最小FSTfreezeTail(prefixLenPlus1);// init tail states for current input// 3.将当前input剩下的部分插入，构建arc转移（前缀是共用的，不用添加新的状态）。for(int idx=prefixLenPlus1;idx<=input.length;idx++) {frontier[idx-1].addArc(input.ints[input.offset + idx - 1],frontier[idx]);frontier[idx].inputCount++;}final UnCompiledNode<T> lastNode = frontier[input.length];if (lastInput.length() != input.length || prefixLenPlus1 != input.length + 1) {lastNode.isFinal = true;lastNode.output = NO_OUTPUT;}// push conflicting outputs forward, only as far as// needed// 4.如果有冲突的话，重新分配output值for(int idx=1;idx<prefixLenPlus1;idx++) {final UnCompiledNode<T> node = frontier[idx];final UnCompiledNode<T> parentNode = frontier[idx-1];final T lastOutput = parentNode.getLastOutput(input.ints[input.offset + idx - 1]);assert validOutput(lastOutput);final T commonOutputPrefix;final T wordSuffix;if (lastOutput != NO_OUTPUT) {// 使用common方法，计算output的共同前缀commonOutputPrefix = fst.outputs.common(output, lastOutput);assert validOutput(commonOutputPrefix);// 使用subtract方法，计算重新分配的outputwordSuffix = fst.outputs.subtract(lastOutput, commonOutputPrefix);assert validOutput(wordSuffix);parentNode.setLastOutput(input.ints[input.offset + idx - 1], commonOutputPrefix);node.prependOutput(wordSuffix);} else {commonOutputPrefix = wordSuffix = NO_OUTPUT;}output = fst.outputs.subtract(output, commonOutputPrefix);assert validOutput(output);}...}

通过注释，我们看到input是经过排序的，也就是ordered。否则生成的就不是最小的FST。另外如果NO_OUTPUT就退化为FSA了，不用执行第4步重新分配output了。

其中freezeTail 方法就是将不再变化的部分进行冰冻，又叫compile，把UnCompileNode，给构建进FST里。进入到FST是先进行compileNode, 然后addNode进去的。

总结以下，加入节点过程：

1)新插入input放入frontier，这里还没有加入FST
2)依据当前input, 对上次插入数据进行freezeTail操作, 放入FST内
3)构建input的转移（Arc）关系
4)解决Output冲突，重新分配output，保证路径统一(NO_OUTPUT,不执行)
最后在finish方法里，执行freezeTail(0), 把所有的input构建进FST内。

另外，值得注意的是Lucene里定义的Outputs类型：
其中3个method是Outputs接口定义的，有11个不同类型的实现:

T add(T prefix, T output); 加
T subtract(T output, T inc); 减
T common(T output1, T output2) 前缀
完全满足我们上个部分的限制，可见就是基于之前算法的一个完整的实现。

除了在Term词典这块有应用，FST在整个lucene内部使用的也是很广泛的，基本把hashmap进行了替换。
场景大概有以下：

自动联想：suggester
charFilter: mappingcharFilter
同义词过滤器
hunspell拼写检查词典

总结

FST，不但能共享前缀还能共享后缀。不但能判断查找的key是否存在，还能给出响应的输入output。它在时间复杂度和空间复杂度上都做了最大程度的优化，使得Lucene能够将Term Dictionary完全加载到内存，快速的定位Term找到响应的output（posting倒排列表）。

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