快速选择算法的时间复杂度为什么是O(n)？

一、引言

今天学了一个快速选择算法，这个算法跟快排差不多，只不过专门用来在选择数组中第k大/小的数时，可以免去将整个数组排序后选择第k个数。将整个数组排序再选择第k个数的时间复杂度是O(nlog(n))，快速选择算法将平均时间复杂度优化到O(n)，但最坏的情况还是O(n^2)。一开始很纠结这个O(n)是怎么来的，后来看了一下别人的分析，得到了答案。

二、分析

这里大概分析一下O(n)怎么来的，可能不是很严谨。

（1）快速选择算法，每次根据pivot（枢纽值）将数组分成左部分和右部分以后，根据k值的大小选择下一次进入左部分还是右部分，我们把数组分成左右部分的过程叫partition。

（2）假设用随机选择算法取得的枢纽值总是在数组的中间，那每次都会将数组分成等长（或长度相差1）的两半，再假设如果一直到最后子数组长度为1才找到第k大/小的值，那就一共要进行⌊logn⌋+1次partition。

（3）第一次partition要遍历的长度是n，第二次要遍历的长度是n/2，第三次要遍历的长度是n/4……倒数第二次遍历的长度是2，最后一次遍历的长度是1。这是一个首项为1，公比为2的等比数列，记ax=2^(x-1)，其中x为项数。这个等比数列的前x项和为2^x-1（等比数列的求和公式为Sx=(a1-ax*q)/(1-q)）。因为一共要求⌊logn⌋+1次partition，而S(⌊logn⌋+1）=2^(⌊logn⌋+1)-1≈2n-1（大概是这样，会有误差，但主要是看数量级。数学这方便确实比较菜嘻嘻），所以时间复杂度是O(2n-1)=O(n)。

三、总结

一开始觉得快速选择算法的平均时间复杂度应该跟快排一样是O(nlogn)，因为觉得要进行⌊logn⌋+1次的partition，每次最差都要遍历长度为n的数组（被以前那些O(n^2)分析带偏了）。实际上每次partition平均来说只要遍历n/2的长度。时间复杂度分析不能想当然，还是要用数学的方式推导一下。

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