南开大学软件学院2021年秋季学期研究生算法课程（复习）动态规划
动态规划
数字三角形
如上图所示，请找出一条自顶向下路径，使得该路径上所有数字的和最大。
- 如何定义状态？第i行第j个数
- 如何进行搜索？DFS枚举所有路径即可（回溯法）
- 时间复杂度？若共有n层，时间复杂度O(2^n)
是否可以减少不必要的搜索（规避不必要的状态转移）了呢？
- 注意第3行第2个数
- 若价值函数定义恰当，则只需搜过一次即可：记忆化搜索
动态规划Dynamic programming，DP
在搜索过程中，对于已经搜索过、且价值函数不会再度更新（或变优）的状态，则可以通过记忆化的方式，规避重复搜索。
因此，才有动态规划算法适用问题所具备的必要条件：
- 最优子结构：最优解可以由子问题的最优解（或部分状态的最优价值函数）构造得出
- 重叠子问题：一些子问题（或状态）在搜索中会重复遇到
- 无后效性：子问题最优解一旦确定就不会再被更新
- 该性质可以直接否定某些问题使用动态规划的可行性。其实，此性质暗示了动态规划可解问题的状态空间一般都是有向无环图
动态规划的宏观理解
本质就是状态空间中的一种“聪明的”搜索策略，因此
- 依然需要恰当准确的状态空间建模
- 重点在于状态的价值函数的设计（通常为优化目标函数）
- 同时，状态转移过程中的价值函数更新方式也很关键
关键点
动态规划算法解决问题的难点不仅是能否准确地、用尽可能少的状态变量（或称为维度）对问题建模，还要设计合理的价值函数（甚至赋予特殊意义），并准确地给出价值函数在状态转移过程中的更新方式。
鉴于以上，才可以总结出动态规划算法设计的三个关键环节：
- 定义状态和价值函数（建模）
- 确定初始状态和对应价值（边界）
- 确定状态转移中的价值更新方式（状态转移方程）
动态规划两种实现
记忆化搜索Memorization
自顶向下（top-down）的实现（DP的本质：暴力搜索优化）
- 状态：递归函数的参数形式
- 状态转移：函数调用，通过实际传入参数
- 价值函数：函数的返回值，须记录（数组或字典）
打表法Tabulation
自底向上（bottom-up）的实现（动态规划的常见方案）
- 状态：数组的下标
- 状态转移：数组元素间的递推关系
- 价值函数：数组的值
所以如何游刃有余地掌握动态规划算法？积累模型
类型Ⅰ：一维递推问题（求和形式）
爬楼梯
一个由n级台阶的楼梯，每步可以迈1、2、3级，问爬完这段楼梯有几种不同的方式？
- 如何定义状态和价值函数？f(i)表示走到第i级台阶的种类数
- 状态转移方程？
- 边界与答案？边界
，答案为
- 时间复杂度？O(n)
优化方式
矩阵快速幂优化：，O(log n)
类型Ⅱ：一维递推问题（最值形式）
最长上升子序列Longest increasing sequence，LIS
给一个数组，请找出这个数组中的一个最长的单调递增子序列（可以不连续）
- 如何定义状态和价值函数？f(i)为第i个数作为结尾的最长上升子序列的长度
- 状态转移方程？
- 边界与答案？
，答案为
- 时间复杂度？O(n^2)
优化方式
- 单调队列/栈优化 Monotonic queue/stack：
- 斜率优化 Convex hull trick：
类型Ⅲ：二维问题----区间问题
最长回文子序列Longest Palindromic Subsequence
回文指形如：“ABBA”，“CDC”等正反一样的序列，给出任意序列，计算最长回文子序列长度。（如“GOODGAME”的答案“GOOG”）
- 如何定义状态和价值函数？
表示区间i,j之间的最长回文子序列长度
- 状态转移方程？
- 边界与答案？
，答案
- 时间复杂度？O(n^2)
回文子序列的个数Couting Palindromic Subsequences
求字符串中回文子序列的个数。（如CDC的回文子序列包括C，D，C，CC，CDC，共5个，位置不同的相同序列需要重复计数）
- 如何定义状态和价值函数？
- 状态转移方程？
- 边界与答案？
- 时间复杂度？O(n^2)
最优矩阵链乘法
n个矩阵连续相乘，第i个矩阵的维度为，问如何通过加括号的方式最快完成矩阵乘法？
- 如何定义状态和价值函数？
- 状态转移方程？
- 边界与答案？
，答案
- 时间复杂度？O(n^3)
优化方式
四边形不等式优化Knuth optimization
区间最值查询Range Minimum/Maximum Query,RMQ
给出长度为n的数组和m次询问，每次询问要求l，r区间内最值
- 如何定义状态和价值函数？
- 状态转移方程？
- 边界与答案？
，令
，答案为
- 时间复杂度？O(n logn + m)
类型Ⅳ：二维问题----序列间比较问题
编辑距离Edit distance
给出字符串A和B，对A进行三种操作：插入、删除或替换一个字符，问由A修改为B最少要几步？
- 如何定义状态和价值函数？
的前缀与B长度为
的前缀通过编辑实现匹配的最少次数
- 状态转移方程？
- 边界与答案？
，答案
- 时间复杂度？O(n^2)
类型Ⅴ：树与图上的问题
快乐聚会
某公司中有明确的上下属关系，可以用有根树表示。现举办聚会，每个人都有一个快乐指数，但是如果一个人的上属参加了聚会，那么此人就不会参加，求聚会最大快乐指数和？
- 如何定义状态函数和价值函数？
表示员工x参加/不参加聚会时其与其下属的最大快乐指数之和
- 状态转移方程？
- 边界与答案？
，答案为
- 时间复杂度？O(n)
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