生成式对抗网络（Generative Adversarial Networks, GANs）
1 原始的 GANs
1.1 GANs 的结构
GANs 的结果图如下所示：
生成式对抗网络 GANs 最重要的两个部分为：
- 生成器（Generator） ：用于生成“假”样本。生成器从先验分布中采得随机信号，经过神经网络的变换，得到模拟样本。
- 判别器（Discriminator） ：用于判断输入的样本是真实的还是合成的。判别器既接收来自实际数据集的真实样本，也接收来自生成器的模拟样本，判别器需要判断输入的样本是真实数据还是生成器的模拟（假）数据。
从上面可以看出，生成器和判别器是对抗的关系，生成器要尽可能生成出让判别器失败的样本，而判别器要尽可能识别出生成器的假样本。GANs 就是通过这种对抗的关系，让生成器和判别器不断提升。理想状态下，生成器和判别器最终能达到一种平衡，两者都趋于完美，都没有更进一步的空间。
1.2 GANs 的训练过程
GANs 采用生成器和判别器交替优化的方式：
（1）固定生成器 GGG，训练判别器 DDD
固定生成器 GGG，然后利用生成器随机模拟产生样本 G(z)G(z)G(z) 作为负样本（zzz 是一个随机向量），并从真实数据集中采样获得正样本 XXX，将这些正负样本输入到判别器 DDD 中，根据判别器的输出（即 D(X)D(X)D(X) 或 D(G(z))D(G(z))D(G(z)) ）和样本标签来计算误差，最后利误差反向传播算法来更新判别器的参数，如下图所示
（2）固定判别器 DDD，训练生成器 GGG
固定判别器 DDD，然后利用当前生成器 GGG 随机模拟产生样本 G(z)G(z)G(z)，并输入到判别器 DDD 中；根据判别器的输出 D(G(z))D(G(z))D(G(z)) 和样本标签来计算误差，最后利用误差反向传播算法来更新生成器 GGG 的参数，如下图所示：
1.3 GANs 的训练模型
先给出 GANs 的公式：
minGmaxDV(D,G)=Ex∼pdata(x)[logD(x)]+Ez∼pz(z)[logD(G(z))](1)\min_G \max_D V(D,G)=E_{x\sim p_{data}(x)}[\log D(x)] + E_{z\sim p_{z}(z)}[\log D(G(z))] \tag{1}GminDmaxV(D,G)=Ex∼pdata(x)[logD(x)]+Ez∼pz(z)[logD(G(z))](1)
训练模型中需要用到的符号有：
- GGG：生成器模型，通常为一个多层感知机结构的可微函数
- DDD：判别器模型
- xxx：判别器的输入，包括真实数据样本和生成器的输出
- zzz：生成器输入的噪声变量，则生成器的输出为 x=G(z)x=G(z)x=G(z)
- pdata(x)≐p(x∣data)p_{data}(x) \doteq p(x|data)pdata(x)≐p(x∣data)：表示从实际数据集得到样本 xxx 的概率
- pz(z)p_{z}(z)pz(z)：生成器输入的噪声变量 zzz 的先验分布
- pg(x)≐p(x∣g)p_{g}(x) \doteq p(x|g)pg(x)≐p(x∣g)：生成器输出的样本 xxx 的概率
- psrc(data)p_{src}(data)psrc(data) 与 psrc(g)p_{src}(g)psrc(g)：判别器模型输入样本中来自真实数据和来自生成器的概率，一般采用一半真实数据、一半假数据的方式，即：psrc(data)=psrc(g)=12p_{src}(data)=p_{src}(g)=\frac{1}{2}psrc(data)=psrc(g)=21
- G(z;θg)G(z;\theta_g)G(z;θg)：θg\theta_gθg 为生成器的多层感知机的参数，G(z;θg)G(z;\theta_g)G(z;θg) 代表生成器模型的输出空间
- D(x;θd)D(x;\theta_d)D(x;θd)：θd\theta_dθd 为判别器的多层感知机的参数，D(x;θd)D(x;\theta_d)D(x;θd) 为判别器的输出，是一个标量值
- D(x)D(x)D(x)：判别器预测输入样本 xxx 来自于真实数据集的概率
- (G∗,D∗)(G^*,D^*)(G∗,D∗)：求得的解，即达到最终纳什均衡点时的生成器和判别器
1.3.1 生成器 GGG 固定，寻求当下最优的判别器 DG∗D_G^*DG∗
判别器 DDD 实质上解决的是一个二分类问题，其损失函数可以用 负对数似然（Negative Log-Likelihood，NLL），也称 绝对交叉熵损失（Categorical Cross-Entropy Loss） 来表示：
L(D)=−∫p(x)[p(data∣x)logD(x)+p(g∣x)log(1−D(x))]dx(2)L(D)=-\int p(x)[p(data|x) \log D(x) + p(g|x) \log (1-D(x))]dx \tag{2}L(D)=−∫p(x)[p(data∣x)logD(x)+p(g∣x)log(1−D(x))]dx(2)
其中：
- p(data∣x)p(data|x)p(data∣x)：样本 xxx 属于真实数据集的概率
- p(g∣x)p(g|x)p(g∣x)：样本 xxx 属于生成器的概率
我们可以推出：
p(x)p(data∣x)=psrc(data)p(x∣data)=psrc(data)pdata(x)=12pdata(x)p(x)p(data|x)=p_{src}(data)p(x|data)=p_{src}(data)p_{data}(x)=\frac{1}{2}p_{data}(x)p(x)p(data∣x)=psrc(data)p(x∣data)=psrc(data)pdata(x)=21pdata(x)
p(x)p(g∣x)=psrc(g)p(x∣g)=psrc(g)pg(x)=12pg(x)p(x)p(g|x)=p_{src}(g)p(x|g)=p_{src}(g)p_{g}(x)=\frac{1}{2}p_{g}(x)p(x)p(g∣x)=psrc(g)p(x∣g)=psrc(g)pg(x)=21pg(x)
代入公式 （2）则有：
L(D)=−∫p(x)[p(data∣x)logD(x)+p(g∣x)log(1−D(x))]dx=−∫[12pdata(x)logD(x)+12pg(x)log(1−D(x))]dx=−12(Ex∼pdata(x)[logD(x)]+Ex∼pg(x)[log(1−D(x))])(3)\begin{aligned} L(D) &= -\int p(x)[p(data|x) \log D(x) + p(g|x) \log (1-D(x))]dx \\ &= -\int [\frac{1}{2}p_{data}(x) \log D(x) + \frac{1}{2}p_{g}(x) \log (1-D(x))]dx \\ &= -\frac{1}{2}(E_{x\sim p_{data}(x)}[\log D(x)] + E_{x\sim p_{g}(x)}[\log (1-D(x))]) \tag{3} \end{aligned} L(D)=−∫p(x)[p(data∣x)logD(x)+p(g∣x)log(1−D(x))]dx=−∫[21pdata(x)logD(x)+21pg(x)log(1−D(x))]dx=−21(Ex∼pdata(x)[logD(x)]+Ex∼pg(x)[log(1−D(x))])(3)
因此，寻求当下最优的判别器 DG∗D_G^*DG∗ 就是最大化以下值函数：
V(D)=Ex∼pdata(x)[logD(x)]+Ex∼pg(x)[log(1−D(x))](4)V(D)=E_{x\sim p_{data}(x)}[\log D(x)] + E_{x\sim p_{g}(x)}[\log (1-D(x))] \tag{4}V(D)=Ex∼pdata(x)[logD(x)]+Ex∼pg(x)[log(1−D(x))](4)
对于单个样本 xxx，则最大化值函数：
maxDpdata(x)logD(x)+pg(x)[log(1−D(x))](5)\max_D p_{data}(x)\log D(x) + p_{g}(x)[\log (1-D(x))] \tag{5}Dmaxpdata(x)logD(x)+pg(x)[log(1−D(x))](5)
令 pdata(x)=ap_{data}(x)=apdata(x)=a，pg(x)=bp_{g}(x)=bpg(x)=b，D(x)=DD(x)=DD(x)=D，则式（5）可以写作：
f(D)=aD+bDf(D)= aD + bDf(D)=aD+bD
令其对 DDD 的导数为零有
df(D)dD=a1D−b11−D=0\frac{df(D)}{dD}= a \frac{1}{D} - b \frac{1}{1-D}=0dDdf(D)=aD1−b1−D1=0
从而有：
D∗=aa+bD^*=\frac{a}{a+b}D∗=a+ba
即：
D∗(x)=pdata(x)pdata(x)+pg(x)(6)D^*(x)=\frac{p_{data}(x)}{p_{data}(x)+p_{g}(x)} \tag{6}D∗(x)=pdata(x)+pg(x)pdata(x)(6)
在公式（6）外面套上对 xxx 的积分，解由单点变成函数解：
DG∗(x)=pdatapdata+pg(7)D^*_G(x)=\frac{p_{data}}{p_{data}+p_{g}} \tag{7}DG∗(x)=pdata+pgpdata(7)
将公式（7）代入公式（4）中，有：
V(DG∗(x))=Ex∼pdata(x)[logpdatapdata+pg]+Ex∼pg(x)[log(1−pdatapdata+pg)]=∫xpdata(x)logpdatapdata+pgdx+∫xpg(x)logpgpdata+pgdx=∫xpdata(x)log[12×pdata(pdata+pg)/2]dx+∫xpg(x)log[12×pg(pdata+pg)/2]dx=−2log2+∫xpdata(x)log[pdata(pdata+pg)/2]dx+∫xpg(x)log[pg(pdata+pg)/2]dx\begin{aligned} V(D^*_G(x)) &= E_{x\sim p_{data}(x)}[\log \frac{p_{data}}{p_{data}+p_{g}} ] + E_{x\sim p_{g}(x)}[\log (1-\frac{p_{data}}{p_{data}+p_{g}} )] \\ &= \int_x p_{data}(x) \log \frac{p_{data}}{p_{data}+p_{g}} dx + \int_x p_{g}(x) \log \frac{p_{g}}{p_{data}+p_{g}} dx \\ &= \int_x p_{data}(x) \log [\frac{1}{2} \times \frac{p_{data}}{(p_{data}+p_{g})/2}] dx + \int_x p_{g}(x) \log [\frac{1}{2} \times \frac{p_{g}}{(p_{data}+p_{g})/2}] dx \\ &= -2\log 2 + \int_x p_{data}(x) \log [\frac{p_{data}}{(p_{data}+p_{g})/2}] dx + \int_x p_{g}(x) \log [\frac{p_{g}}{(p_{data}+p_{g})/2}] dx \end{aligned} V(DG∗(x))=Ex∼pdata(x)[logpdata+pgpdata]+Ex∼pg(x)[log(1−pdata+pgpdata)]=∫xpdata(x)logpdata+pgpdatadx+∫xpg(x)logpdata+pgpgdx=∫xpdata(x)log[21×(pdata+pg)/2pdata]dx+∫xpg(x)log[21×(pdata+pg)/2pg]dx=−2log2+∫xpdata(x)log[(pdata+pg)/2pdata]dx+∫xpg(x)log[(pdata+pg)/2pg]dx
KL 散度（Kullback–Leibler Divergence）
又称相对熵（Relative Entropy），两个分布 PPP 和 QQQ 的 KL 散度记为 KL(P∥Q)KL(P\| Q)KL(P∥Q)，计算公式为：
KL(P∥Q)=Ex∼P(x)[logP(x)Q(x)]=∑i=1n[P(xi)logP(xi)Q(xi)]KL(P\| Q)=E_{x\sim P(x)}[\log\frac{P(x)}{Q(x)}]=\sum_{i=1}^n [P(x_i) \log\frac{P(x_i)}{Q(x_i)}]KL(P∥Q)=Ex∼P(x)[logQ(x)P(x)]=i=1∑n[P(xi)logQ(xi)P(xi)]
JS 散度（Jensen–Shannon Divergence）
两个分布 PPP 和 QQQ 的 JS 散度记为 JS(P∥Q)JS(P\| Q)JS(P∥Q)，计算公式为：
JS(P∥Q)=12KL(P∥P+Q2)+12KL(Q∥P+Q2)JS(P\| Q)=\frac{1}{2}KL(P\| \frac{P+Q}{2}) + \frac{1}{2}KL(Q \| \frac{P+Q}{2})JS(P∥Q)=21KL(P∥2P+Q)+21KL(Q∥2P+Q)
V(DG∗(x))=−2log2+∫xpdata(x)log[pdata(pdata+pg)/2]dx+∫xpg(x)log[pg(pdata+pg)/2]dx=−2log2+KL(pdata∥pdata+pg2)+KL(pg∥pdata+pg2)=−2log2+2JS(pdata∥pg)∈[−2log2,0]\begin{aligned} V(D^*_G(x)) &= -2\log 2 + \int_x p_{data}(x) \log [\frac{p_{data}}{(p_{data}+p_{g})/2}] dx + \int_x p_{g}(x) \log [\frac{p_{g}}{(p_{data}+p_{g})/2}] dx \\ &= -2\log 2 + KL(p_{data} \| \frac{p_{data}+p_{g}}{2}) + KL(p_{g} \| \frac{p_{data}+p_{g}}{2}) \\ &= -2\log 2 + 2 JS(p_{data} \| p_{g}) \\ & \in [-2\log 2, 0] \end{aligned} V(DG∗(x))=−2log2+∫xpdata(x)log[(pdata+pg)/2pdata]dx+∫xpg(x)log[(pdata+pg)/2pg]dx=−2log2+KL(pdata∥2pdata+pg)+KL(pg∥2pdata+pg)=−2log2+2JS(pdata∥pg)∈[−2log2,0]
固定判别器为 DG∗D_G^*DG∗ 时，求生成器 GGG 的值函数可以写作：
minGV(G,DG∗(x))=minG{−2log2+2JS(pdata∥pg)}\min_G V(G, D^*_G(x))=\min_G\{ -2\log 2 + 2 JS(p_{data} \| p_{g}) \}GminV(G,DG∗(x))=Gmin{−2log2+2JS(pdata∥pg)}
显然，当 pdata=pgp_{data} = p_{g}pdata=pg 时，JS(pdata∥pg)=0JS(p_{data} \| p_{g})=0JS(pdata∥pg)=0，最优解 G∗(z)=x∼pdata(x)G^*(z)=x \sim p_{data}(x)G∗(z)=x∼pdata(x)，D∗(x)≡12D^*(x) \equiv \frac{1}{2}D∗(x)≡21，值函数 V(G∗,D∗)=−2log2V(G^*,D^*)=-2log2V(G∗,D∗)=−2log2
1.3.2 判别器 DDD 固定，寻求当下最优的判别器 G∗G^*G∗
令 G′G'G′ 为上一步的生成器，DDD 为在 G′G'G′ 下求得的最优判别器 DG′∗(x)D^*_{G'}(x)DG′∗(x)，那么，求解最优 G∗G^*G∗ 的过程为：
argminGV(G,DG′∗)=argminG[KL(pg∥pdata+pg′2)−KL(pg∥pg′)]arg \min_G V(G,D^*_{G'})=arg \min_G [KL(p_g \| \frac{p_{data}+p_{g'}}{2})-KL(p_g \| p_{g'})]argGminV(G,DG′∗)=argGmin[KL(pg∥2pdata+pg′)−KL(pg∥pg′)]
由此可以得出两个结论：
- 优化 GGG 的过程是让 GGG 远离前一步的 G′G'G′，同时接近分布 pdata+pg′2\frac{p_{data}+p_{g'}}{2}2pdata+pg′
- 达到均衡点时 pg′=pdatap_{g'}=p_{data}pg′=pdata，有 argminGV(G,DG′∗)=argminG0arg \min_G V(G,D^*_{G'})=arg \min_G 0argminGV(G,DG′∗)=argminG0，如果用这时的判别器去训练一个新的生成器 GnewG_{new}Gnew，理论上可能训练不出来。
1.4 GANs 总结
（1）GANs 本质上式在最小化生成分布与真实数据分布的 JS 距离，当算法收敛时生成器刻画的分布就是真实数据的分布。
（2）发明 GANs 的初衷是为了更好地解决概率生成模型的估计问题
传统概率生成模型方法（如：马尔可夫随机场、 贝叶斯网络）会涉及大量难以完成的概率推断计算，而 GANs 可以避开这类计算。
如果随机变量 ZZZ 和 XXX 之间满足某种映射关系 X=f(Z)X=f(Z)X=f(Z)，那么它们的概率分布 pX(X)p_X(X)pX(X) 和 pZ(Z)p_Z(Z)pZ(Z) 也存在某种映射关系。当 Z,X∈RZ,X\in RZ,X∈R 都是一维随机变量时，pX=df(Z)dXpZp_X=\frac{df(Z)}{dX}p_ZpX=dXdf(Z)pZ；当 Z,XZ,XZ,X 都是高维随机变量时，导数变成雅克比矩阵 pX=JpZp_X=Jp_ZpX=JpZ。 因此，已知 ZZZ 的分布，我们对随机变量间的转换函数 fff 直接建模，就唯一确定了 XXX 的分布。
这样，不仅避开了大量复杂的概率计算，而且给 fff 更大的发挥空间，我们可以用神经网络来训练 fff。
1.5 GANs 存在的问题
在实际训练中，早期阶段生成器 GGG 很差，生成的模拟样本很容易被判别器 DDD 识别，使得 DDD 回传给 GGG 的梯度极小，达不到训练的目的，这个现象称为 优化饱和。
原因分析
这里将 DDD 的 Sigmoid 输出层的前一层记为 ooo，那么 D(x)D(x)D(x) 就可以表示成 D(x)=Sigmoid(o(x))D(x)=Sigmoid(o(x))D(x)=Sigmoid(o(x))，此时有：
∇D(x)=∇Sigmoid(o(x))=D(x)(1−D(x))∇o(x)\nabla D(x)= \nabla Sigmoid(o(x)) = D(x)(1-D(x))\nabla o(x)∇D(x)=∇Sigmoid(o(x))=D(x)(1−D(x))∇o(x)
因此训练 GGG 的梯度为：
∇log(1−D(G(z;θg)))=−D(G(z;θg))∇o(G(z;θg))\nabla \log(1-D(G(z;\theta_g))) = -D(G(z;\theta_g))\nabla o(G(z;\theta_g))∇log(1−D(G(z;θg)))=−D(G(z;θg))∇o(G(z;θg))
当 DDD 能很好的分类样本时，意味着认错假样本的概率几乎为零，即 D(G(z;θg))→0D(G(z;\theta_g)) \rightarrow 0D(G(z;θg))→0，假定 ∣o(G(z;θg))∣<C|o(G(z;\theta_g))|<C∣o(G(z;θg))∣<C（CCC 为一个常数），则可推出：
limD(G(z;θg))→0∇log(1−D(G(z;θg)))=−limD(G(z;θg))→0D(G(z;θg))∇o(G(z;θg))=0\lim_{D(G(z;\theta_g)) \rightarrow 0} \nabla \log(1-D(G(z;\theta_g)))=-\lim_{D(G(z;\theta_g)) \rightarrow 0} D(G(z;\theta_g))\nabla o(G(z;\theta_g))=0D(G(z;θg))→0lim∇log(1−D(G(z;θg)))=−D(G(z;θg))→0limD(G(z;θg))∇o(G(z;θg))=0
故 GGG 获得的梯度基本为零，因此 DDD 强大后对 GGG 的帮助反而很小。
解决方法
解决方案是将 log(1−D(G(z;θg)))\log(1-D(G(z;\theta_g)))log(1−D(G(z;θg))) 变为 log(D(G(z;θg))\log(D(G(z;\theta_g))log(D(G(z;θg))，形式上有一个负号的差别，故让后者最大等效于让前者最小，二者在最优解相同。
更改后的目标函数的梯度为：
log(D(G(z;θg)))=(1−D(G(z;θg)))∇o(G(z;θg))limD(G(z;θg))→0∇log(D(G(z;θg)))=∇o(G(z;θg))\begin{aligned} \log(D(G(z;\theta_g))) &= (1-D(G(z;\theta_g))) \nabla o(G(z;\theta_g)) \\ \lim_{D(G(z;\theta_g)) \rightarrow 0} \nabla \log(D(G(z;\theta_g))) &= \nabla o(G(z;\theta_g)) \end{aligned} log(D(G(z;θg)))D(G(z;θg))→0lim∇log(D(G(z;θg)))=(1−D(G(z;θg)))∇o(G(z;θg))=∇o(G(z;θg))
因此，更改后即使 D(G(z;θg))→0D(G(z;\theta_g)) \rightarrow 0D(G(z;θg))→0，∇log(D(G(z;θg)))\nabla \log(D(G(z;\theta_g)))∇log(D(G(z;θg))) 也不会消失，仍能给生成器提供有效的梯度。
（GAN 的变种算法以后再继续补充）
2 WGAN
原始 GAN 的判别器是最小化生成分布与真实数据分布的 JS 距离，WGAN算法的改进在于它使用的是 Wasserstein 距离，也称 推土机距离（Earth Mover Distance）
W(P,Q)=infγ∼∏(P,Q)E(x,y)∼γ[∥x−y∥]W(P,Q)=\inf_{\gamma \sim \prod(P,Q)} E_{(x,y) \sim \gamma}[\|x-y\|]W(P,Q)=γ∼∏(P,Q)infE(x,y)∼γ[∥x−y∥]
3 DCGAN
使用卷积神经网络的GAN。
4 ALI（Adversarially Learned Inference）
将生成网络和推断网络一起放到 GANs 的框架下，进而联合训练生成模型和推断模型。
5 IRGAN（Information Retrieval GAN）
利用 GANs 框架生成离散样本数据
6 SeqGAN（Sequence GAN）
利用 GANs 框架生成文本序列
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