关于汉明码的一些总结

汉明码（检两位错，纠一位错）

~~~借鉴自大佬的博客，写的很好~~~

-----------------------------------------------采用偶校验和奇校验原理部分相同，本篇采用偶校验

校验码个数k：

$k=2^{k}\geq n+k+1$ （n为数据位数）

附表 k的取值：

n	1	2-4	5-11	12-26	27-57	58-120	······
k	2	3	4	5	6	7	······

校验码分别设为 $p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}$ ······

校验码位置： $2^{i}$ 位置上（1、2、4、8、16 ······）

确定校验码的值（保证组内数据1的个数为偶数从而确定校验码 $p_{i}$ 的值）：

$p_{1}$ 由二进制位置为xxx1的数据组确定（位置为1,3,5,7,9,11 ·······的数据组）

$p_{2}$ 由二进制位置为xx1x的数据组确定（位置为2,3,6,7,10,11 ·······的数据组）

$p_{3}$ 由二进制位置为x1xx的数据组确定（位置为4,5,6,7 ·······的数据组）

$p_{4}$ 由二进制位置为1xxx的数据组确定（位置为8,9,10,11 ·······的数据组）

······

检错:

将接收到的序列的 $2^{i}$ 位置上的 $p_{i+1}$ 及其对应的数据组异或得到的i+1个值逆序排列转化为十进制即为出错的位置

例：

数据 1010

校验码个数 k=3

设汉明码为 H1,H2,H3,H4,H5,H6,H7

数据为D1,D2,D3,D4

校验码为P1,P2,P3

则 H1=P1 H2=P2 H4=P3 剩下的依次放入数据

H1	H2	H3	H4	H5	H6	H7
P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4
		1		0	1	0

P1 由3，5，7位置上的数据决定（分别为1，0，0），所以P1 = 1

P2 由3，6，7位置上的数据决定（分别为1，1，0），所以P2 = 0

P3 由5，6，7位置上的数据决定（分别为0，1，0），所以P3 = 1

H1	H2	H3	H4	H5	H6	H7
P1	P2	D1	P3	D2	D3	D4
1	0	1	1	0	1	0

所以汉明码为 1011010

假设收到的序列为 1011110

H1	H2	H3	H4	H5	H6	H7
1	0	1	1	1	1	0

H1⊕H3⊕H5⊕H7= 1

H2⊕H3⊕H6⊕H7= 0

H4⊕H5⊕H6⊕H7= 1

逆序排列为 101

即第5位出了差错，取反即为原序列，

再去掉 $2^{i}$ 位置上的数就是要传送的数据

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