1.函数的递归调用

函数可以直接或者间接的调用其自身，这称为函数的递归调用。递归算法的实质是将原有的问题逐层拆解为新的问题，而解决新的问题又用到了原问题的解法，因此可以继续调用自身分解，按照此原则一直分解下去，每次出现的新问题都是原有问题的子集(或者说是简化版的原问题)，而最终的最终分解出来的最后一个问题，一定是已知解的问题，否则没有意义。

因此递归过程都可以用以下两个阶段概括。

Step1：递推。所谓递推就是将原有的问题不断拆解为新的子问题，其子问题就是原有问题的弱化(或者说更少层)的问题，这样，逐渐从未知向已知推进，最终的一个子问题一定是个已知的问题，到达此后，递归阶段结束。

Step2：回归。上一阶段递归阶段结束后，进入回归阶段，所谓回归就是从上一阶段的已知的问题出发，按照递推的过程，逐一求值回归，逐渐将未知问题都变成已知问题，一直到达递推的最开始处，结束回归阶段，问题解决。

2.经典递归调用—汉诺塔问题

2.1 问题描述

有三根针A，B, C。A针上有n个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上，如下图示，要把这n个盘子从A针移动到C针，在这个过程中可以借助B针，每次只允许动一个盘子，而且在移动的过程中，这三根针上都保持大盘子在下，小盘子在上。

2.2 解决思路

实际上，正如上面所说，这是一个典型的递归调用。要解决这个问题，本质上还是以上所说的递归的两个阶段。

Step1：递归

①：从问题出发，我们需要达到的目标是什么：我们是想要将A上的n个盘子移动到C上

②：为了解决①，我们可以这么做：

(2.1)我们可以把n-1个盘子从A针(1至n-1号盘)移至B针；

(2.2)之后将A针中剩下的第n号盘(最下面那个)移至C针；

(2.3)最后我们再把第2.1步中那n-1个盘子从B针全部移回至C针，至此，C针上有n个盘子，问题解决。

经过以上三个步骤，我们把想要解决的目标问题拆分成了3个新的子问题，且这3个新的子问题都是原有的问题的弱化版或者说低层版本，我们只需要按照此一直递归，最后找到一个已知的问题即可，下面我们继续递归。

③：

针对问题2.1，也就是将n-1个盘子从A针移动到B针，这个问题熟悉不熟悉？没错，这个问题他不就是我们要解决的问题(从A->C移动n个盘子)换了个目标盘(变成了从A->B)还有减少了一次次数(移动n-1个盘子)的弱化版本么？所以这个问题本身又可拆分成3个新的子问题，现在我们的目标是：我们是想要将A上的n-1个盘子移动到B上。为了解决这个问题，我们可以这么做：

(3.1)我们可以把n-2个盘子A针(1至n-2号盘)移至C针；

(3.2)之后将A针中剩下的第n-1号盘(最下面那个)移至B针；

(3.3)最后我们再把第3.1步中那n-2个盘子从C针全部移回至B针，至此，B针上有n-1个盘子，问题解决。

经过以上3个步骤，问题进一步弱化了，如3.1所示，需要把n-2个盘子A针(1至n-2号盘)移至C针，我们只需要移动n-2个盘子即可。这个问题熟悉不熟悉？没错，这就是我们要解决的问题(从A->C移动n个盘子)，次数减少了两次次数(移动n-2个盘子)的进一步弱化版本么？看到这里相信你已经找到了规律。

所以，要解决问题3.1我们可以进一步拆分成3个新的子问题，如此反复，就是一个Step1不断递推的过程，直到最后问题被拆分为：需要移动1个盘子从起始针->目标针，此时直接移动即可。这也就是所谓的递推的最后即最终的子问题变成了一个已知问题，递推阶段便结束了。

递推阶段结束后，便是逐层回归，从已知问题出发，每个n.1问题解决后，顺序解决n.2，n.3，直到回到最开始处，结束回归。比如上述3.1解决后，3.2可直接移动，3.3又可拆分成3个新的子问题，一直拆分到出现已知问题，层层回归解决3.3问题。

我们是为了解决2.1问题才拆分成3.1，3.2，3.3问题，那么3.1，3.2，3.3问题都解决后，也就是2.1问题被解决了，继续解决2.2问题，2.2问题可直接移动，问题解决。继续解决2.3问题，还是不断递归拆分直到出现已知问题，再不断回归解决问题2.3.

我们是为了解决我们最初的1问题也就是最初的目标问题才拆分成2.1，2.2，2.3问题的，因此，2.1，2.2，2.3问题都解决后，最初的1问题也就解决了。至此全部结束。

2.3 C++代码编写

代码写起来很简单，首先定义一个最基本的操作：移动盘子

从A移动一个盘子到C，起始针A称为src原盘，终点盘C称为dst目标盘，那么便有：

    //移动src最上面一个盘子到dst针void move(char src, char dst){cout << src << "--》" << dst << endl;        //表示将src的一个盘子移动到了dst盘}

接下来我们再定义一个函数：从原盘移动n个盘子到目标盘

起始针称为src原盘，借助中间盘称为medium中间盘，终点盘称为dst目标盘，那么便有：

    //代表从src->dst(借助medium)移动n个盘子void hanoi(int n,char src,char medium,char dest)

知道以上代表的含义后，我们就可以开始编写代码解决问题了。

经过2.2章节的分析我们知道，要解决①问题，我们拆分成了3个子问题2.1，2.2，2.3，我们分别看下这三个子问题：

目标问题：将n个盘子从A针移到C针

分解步骤1：我们先把n-1个盘子从A针(1至n-1号盘)移至B针(借助C针)；

这个问题写成代码就是：

    //将n-1个盘子从A针(借助C针)移动到B针上hanoi(int n-1,A,C,B);

因为刚开始传入参数时候，赋值的A是src针，B是medium针，C是dst针，所以可以写成：

    //将n-1个盘子从A针(借助C针)移动到B针上hanoi(int n-1,src,dst,medium);

分解步骤2：之后将A针中剩下的第n号盘(最下面那个)移至C针；

这个问题写成代码就是：

    //将A针中剩下的第n号盘(最下面那个)移至C针move(A,C);

因为刚开始传入参数时候，赋值的A是src针，C是dst针，所以可以写成：

    //将A针中剩下的第n号盘(最下面那个)移至C针move(src,dst);

分解步骤3：最后我们再把那n-1个盘子从B针全部移至C针(借助A针)；

这个问题写成代码就是：

    //将n-1个盘子从B针(借助A针)移动到C针上hanoi(int n-1,B,A,C);

因为刚开始传入参数时候，赋值的A是src针，B是medium针，C是dst针，所以可以写成：

    //将n-1个盘子从B针(借助A针)移动到C针上hanoi(int n-1,medium,src,dst);

当最终n=1时，我们只需要移动move(src,dst)即可，这也是最终的已知问题。

因此，完整的代码为：

    void move(char src, char dst){cout << src << "--》" << dst << endl;}void hanoi(int n, char src, char medium, char dst){if (n==1)                                      //n==1代表最终的已知问题{move(src, dst);}else{hanoi(n - 1, src, dst, medium);            //子问题2.1，继续调用自身move(src, dst);                            //子问题2.2hanoi(n - 1, medium, src, dst);            //子问题2.3，继续调用自身}}int Exam_3_10(){int n;cout << "请输入盘子个数:" << endl;cin >> n;hanoi(n, 'A', 'B', 'C');return 0;}

2.4 3层汉诺塔动画演示

举个简单的例子，假设A上有3个盘子1，2，3盘，也就是3层汉诺塔问题。

目标问题：我们需要将3个盘子从A针移动到C针(借助B)

分解问题：

(2.1)我们可以先把2个盘子从A针(1、2号盘)移至B针；

(2.2)之后将A针中剩下的第3号盘移至C针；

(2.3)最后我们再把第2.1步中那2个盘子从B针全部移回至C针，至此，C针上有3个盘子，问题解决。

步骤如图所示：

具体细分到每一步的Gif动画演示如下：

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