牛客 - 牛牛的树行棋

题目描述

牛牛的树行棋

解法：SG函数+DFS（C++）

详细参考 Lskkkno1的解和段三园的小迷弟的解

我们先介绍关于 SG 函数的两个结论：

当前局面的 SG 值为 0，先手必败，否则先手必胜
若一个游戏是多个独立游戏组成的，那么当前局面的 SG 值是多个独立游戏 SG 值的异或值

那么，对这道题而言，每一枚棋子其实都是独立的，也就是说，当前局面的多个独立游戏就是每一枚棋子，当前局面的 SG 值就是每一枚棋子的 SG 值的异或和。

那么一枚棋子的 SG 值怎么求呢？

若一枚棋子在叶子节点（后继状态是空集），它的 SG 值为 0

若一枚棋子的后继节点只有叶子节点，它的 SG 值为 1

若一枚棋子的后继节点 SG 值最大为 1 （那么肯定也有 0），它的 SG 值为 2

若一枚棋子的后继节点 SG 值最大为 2 （那么肯定也有 1, 0），它的 SG 值为 3

⋯ ⋯ \cdots \cdots ⋯⋯

就是说，除叶节点外，每个节点的 SG 值等于 m a x ( 子树的 S G 值 ) + 1 max(子树的 SG 值) + 1 max(子树的SG值)+1

根据上面的结论，求出所有 SG 值的异或和 x x o r xxor xxor，如果 x x o r ! = 0 xxor != 0 xxor!=0，先手有必赢策略，否则必输

那么知道必赢之后该怎么求解方法数呢？

因为 SG 值为 0 的局面是必输的，也就是说，我们需要在第一次移动之后使得局面的 SG 值一定要等于 0

考虑当前要移动的棋子为 i i i，它的 SG 值为 S G i SG_i SGi，且令移动之前局面的 SG 值为 x x o r xxor xxor，要使移动后总的 SG 值为 0，这枚棋子需要移动到 SG 值等于 S G i ⊕ x x o r SG_i \oplus xxor SGi⊕xxor 的位置

于是，我们通过一个计数数组 c n t [ . . . ] cnt[...] cnt[...]，记录当前根节点下的全部子节点出现的 SG 值的次数，然后求和 c n t [ S G i ⊕ x x o r ] cnt[SG_i \oplus xxor] cnt[SGi⊕xxor] 就是我们想要的结果啦

当然，cnt[sg[x]]++; cnt[sg[x]]--; 是为了保证 DFS 到达叶节点回溯时走过的路已经计算完毕，如果不减掉那就会重复计算

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 5e5+10;
vector<int> e[N];
int n, u, v, sum, xxor, sg[N<<1], cnt[N<<1];void dfs1(int x, int pre){// 计算每个节点的 sg 值，判断先手是否能赢for(auto i: e[x]){if(i!=pre){dfs1(i, x);sg[x] = max(sg[x], sg[i]+1);}}xxor ^= sg[x];
}void dfs2(int x, int pre){// 求必赢策略中的第一步的方法数cnt[sg[x]]++;sum += cnt[sg[x]^xxor];for(auto i: e[x])if(i!=pre) dfs2(i, x);cnt[sg[x]]--;
}int main()
{cin >> n;for(int i=1;i<n;i++){cin >> u >> v;e[u].push_back(v);e[v].push_back(u);}dfs1(1, -1);if(xxor){dfs2(1, -1);cout << "YES" << endl;cout << sum << endl;}else cout << "NO" << endl;return 0;
}