迭代法求线性代数方程组

计算物理

辽宁科技大学

理学院

骆宾祥

学号：120123802038

迭代法求线性代数方程组

骆宾祥

摘 要:目前在许多实际应用领域,诸如航空、造船以及其它结构工程中,常遇到求解大型线性代数方程组的问题。本文用迭代法求解线性代数方程组并用c语言编辑程序求解。

关键字：线性代数方程组、迭代法、c语言

一、 引言

在自然科学、工程技术、经济和医学各领域中产生的许多实际问题都可以通过数学语言描述为数学问题，也就是说，由实际问题建立数学模型，然后应用各种数学方法和技巧来求解，最后把结果反馈到实际应用中去。

计算数学是数学学科的一大分支，它研究如何借助于计算机求解各类数值问题。应用计算机求解各类数值问题需要经历以下几个主要过程：1、实际问题2、数学模型3、计算方法4、算法设计5、计算求解

目前已有的数学软件可以帮助我们实现上机计算，基本上已经将数值分析的主要内容设计成简单的函数，只要调用这些函数进行运算便可得到数值结果。

数值分析的内通包括线性代数方程组求解、非线性代数方程(组)求解、矩阵的特征值与特征值向量的计算、函数插值、函数逼近、数值积分与数值微分以及微分方程数值解法。

线性方程组的求解从理论上可分为两类：直接法和迭代法。直接法是不考虑计算过程中的舍入误差，经过有限次的运算得到方程组精确解的方法，常见的方法是高斯顺序消去法、高斯列主元消去法和矩阵的LU分解法。迭代法是

采用某种极限过程，用线性代数方程组的近似解逐步逼近精确解的方法。迭代法中常见的方法有简单迭代法、J-迭代法、GS-迭代法和SOR-迭代法。

二 、 迭代法

迭代法的基本思想：是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值xi(i=1,2…n)，按某种计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。

对于线性方程组Ax=b 其中，A为非奇异矩阵。

将A分裂为A=M-N，其中，M为非奇异矩阵，且要求线性代数方程组Mx=d容易求解，一般选择为A的某一部分元素构成的矩阵，称M为A的分裂矩阵。于是，求解Ax=b转化为求解Mx=Nx+b,由此可构造一个迭代法：

x(0)(初始向量) ， x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2…)

其中，f=b/M,B=I-A/M为迭代法的迭代矩阵。

选取M为A的对角元素组成的矩阵，即选取M=D，可得到解Ax=b的雅克比迭代法：

x(0)(初始向量),x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2…)

BJ为求解Ax=b的雅克比迭代法的迭代矩阵。

解雅克比迭代法的计算公式为：

(k=0,1,2，……:i=1,2,3,……..n)

雅克比方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法，，它是基于以下两个结论：

1)任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型，即存在正交矩阵Q，使得 QTAQ=diag(λ1,λ2,…,λn) 其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，Q中各列为相应的特征向量。

2)在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。即设A=(aij)n*n ，Q为交矩阵，记B=QTAQ=(bij)n*n,则i,j=1naij2=i,j=1nbij2

雅克比方法的基本思想：是通过一次正交变换，将A中的一对非0的非对角线化成0，并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于0，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量

三、 迭代法实例

解题步骤：

将方程组记为Ax=b，其中 A=2.0 0.00.0 1.02.0 2.03.0 2.06.0 1.0-6.0 -5.04.0 -3.0 0.0 1.0 b=0.0-2.06.0-7.0

将原方程组改写为x1=-1.02.0x4x2=-12.02.0x1+3.0x3+2.0x4+2.0 x3=16.06.0x1+1.0x2-5.0x4-6.0 x4=-4.0x1+3.0x2-7.0 (1)

也可写为 x=Bx+f 其中 B= 0.0 0.0 0.0 -1.02.0 -1.0 0.0 -3.02.0 -1,0 1.0 1.06.0 -5.06.0 -1.0-4.0 3.0 0.0 0.0 f=0.0-1.0-1.0-7.0

任取初始值x(0)=(0.0,0.0,0.0,0.0)T,代入(