时间流逝(flow)——概率题
时间流逝(flow)
Time Limits: 1s Memory Limits: 256MB
Description
生活可以很简单。可以探索水底世界的神秘,也可以去发现奇特新生物,亦或踏上一段新生的旅程。在必须要迎接挑战或跟周围的生物进行生存争夺之前,享受自由的飞翔。此时你会觉得生活是如此美好。
像蛇喜欢吃浮游生物一样(哦,我好像忘记告诉你这个常识),每天,你可以吃一些你周围的基础生物,然后会在你的尾巴上得到一个能量圈。你将会有好多种不同的能量圈,每一个都会被赋予一个能量。你可以拥有多个同种的能量圈,但是对于新得到的能量圈,它的能量不能大于你已拥有的任何一个能量圈。在前面规则的前提下,获得新的能量圈的种类的概率是一样的。一天天过去,你得到越来越多的能量,开始了进化演变。
但是你也有自己的问题,有时你会面对邪恶的果冻鱼。它会追着你咬你,你不得不扔出最小能量值的能量圈然后赶忙逃跑。在这种情况下,你不会有任何的胃口了,因此这天你将不再得到任何能量圈。幸好,当你没有任何能量圈的时候,果冻鱼就算看见你也不会追着你,此时你可以好好地享用美食。
你听说当你的总的能量值超过了某个阈值之后,可以进化成强大模式并能够吃掉果冻鱼。是时候反击了!下面是本题的问题:预计要过多少天你才能进化成强大模式?(第一天默认你没有任何能量圈)
Input
输入包含多个测例。对每个测例会有两行。第一行是一个浮点数P,一个整数T和一个整数N。P是每天遇到果冻鱼的概率,T是阈值。第二行是N个不同的正整数,表示每一种能量圈的能量值。
Output
对于每个测例,输出一行表示预计要过多少天你的能量值能够超过阈值,四舍五入到三位小数。
Sample Input
0.5 0 1
1
0.5 1 2
1 2
Sample Output
1.000
2.000
Hint
对于所有数据,0.1≤P≤0.9,1≤T≤50,1≤N≤30。
一道概率题。
这种最不走运能够走∞步,想用无穷级数,因为走法太恶心,所以行不通。
然而解决期望的另一种是DP设期望,然后得出方程。
将能量值排序。
设 fx,y 表示由状态{能量总和为x,最小能量环为第y小}到终点 x′>T 的期望天数
那么 fx,y 有 p′ 的概率被吃掉一个环( p′=p(x>0) p′=0(x=0) ),即有 p′ 的概率由 ffa+1 转移来;有 1−p′ 的概率往下走,也就是说有 1−p′ 的概率由 fai,i+1i 转移过来。
即:
fx,y=p′(ffa+1)+1−p′y∑i=1yfx+ai,i+1
考虑递归,每个状态返回用 ffa 表示 fx,y 的方法,它是个一元一次多项式。
那么用 fx,y 表示 fx+ai,i 后, 1−p′y∑yi=1fx+ai,i+1 也可以用 fx,y 表示,设其为 Afx,y+B
原式化为
fx,y=p′ffa+p′+Afx,y+B
解方程
fx,y=p′1−Affa+p′+B1−A
这样就表示好了。
递归 f(0,n) ,这时 ffa=0
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define db doubleusing namespace std;int n,lim,v[40];
db p;
struct fc{db a,b;};fc operator+(fc a,fc b){return (fc){a.a+b.a,a.b+b.b};}
fc operator+(fc a,db b){return (fc){a.a,a.b+b};}
fc operator*(fc a,db b){return (fc){a.a*b,a.b*b};}fc P(int s,int x){if(s>lim)return (fc){0,0};fc ex=(fc){0,0};db _p=(s?1-p:1)/(db)x;for(int i=1;i<=x;i++)ex=ex+(P(s+v[i],i)+1)*_p;if(s){db t=1-ex.a;return (fc){p/t,(ex.b+p)/t};}return (fc){0,ex.b/(1-ex.a)};
}int main(){freopen("flow.in","r",stdin);freopen("flow.out","w",stdout);while(~scanf("%lf %d %d",&p,&lim,&n)){for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]);sort(v+1,v+n+1);printf("%.3lf\n",P(0,n).b);}fclose(stdin);fclose(stdout);return 0;
}
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