走进无限美妙的数学世界

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如何做科学研究？孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”要做好科学研究，首先要选好一个有意义的且适合自己能力的问题，要对研究的问题有“好奇心”，即有一种探知的欲望，这就是孔子说的“知之”；其次，要对研究的问题产生浓厚兴趣，即孔子说的“好之”。
              以钻研问题为乐，是更高的思想境界，就是孔子说的“乐之”；第三，要了解别人在相关问题的已有研究成果，要重视与周围同事的讨论和交流；最后，遇到困难时不放弃，要坚持。
             什么叫创新和如何创新？科研工作者从事一项研究时都要力求创新。什么叫创新？在C.R. Rao的《统计与真理》（科学出版社，2004）这本书中，作者关于创新有如下论述：“创新可以有不同的种类。最高水平的创新是一种新思想和新理论的产生，这种新思想和新理论……完全不能从已有的理论演绎而成，……另外一种不同水平的创新是指在一个已有法则范围内的新发现，而这种新发现在某个特殊领域内具有巨大的意义”。爱因斯坦的相对论、牛顿和莱布尼茨建立的微积分、美国气象学家罗伦兹的“混沌理论”等就是这种最高水平的创新。
              科研工作如何才能做到某种创新呢？
              一是要有长期的知识积累，这是创新的基础；二是要有丰富的想象力和敏锐的直觉。爱因斯坦说他的创新思维活动“产生于有一种能用文字或其他符号来与他人交流的逻辑结构之前”。他认为：“想象力比知识更重要，……它是知识进化的源泉。”他在纪念普朗克60岁生日的演讲中又说:“物理学家的最高使命是得到那些普遍的基本定律，由此世界体系就能用单纯的演绎法建立起来。要通向这些定律，没有逻辑推理的途径，只有通过建立在经验的同感的理解之上的那种直觉”。法国著名数学家庞加莱认为：“我们靠逻辑来证明，但要靠直觉来发明”。
             在数学发展史中就有许多凭想象力和直觉来创建新理论的生动例子：例如欧拉受解决柯尼斯堡七桥问题的启发开创了现代数学中的拓扑学研究的先河。
             如何开拓“想象力”？所谓“想象力”，就是头脑中创造一个念头或画面的能力，即形象思维的能力。创新理念不是来自逻辑思维，而是源于形象思维，形象思维的能力大小取决于一个人的文化素质高低。因为一个有较高文化素质的人思路就比较开阔, 能高瞻远瞩, 富于联想, 触类旁通。如何开拓“想象力”？我认为通过加强文学和艺术的修养可以开拓形象思维的能力。爱因斯坦就酷爱艺术，他还是一个演奏小提琴的高手。他曾坦言：“物理给我知识，艺术给我想象力，知识是有限的，而艺术所开拓的想象力是无限的。”<p>
             根据我个人的体会，经常在闲暇时阅读一些古代诗词名篇可以开拓自己的想象力。晚清一代宗师王国维在《人间词话》中说：“词以境界为上。有境界自成高格，自有名句”。所谓“境界”就是指情景交融的艺术形象。要体会一首词的境界就要有想象力。如宋代張先《天仙子》词中名句“云破月来花弄影”写出了一位暮年的诗人在暮春之夜从对即将逝去的美好春天的眷恋引发对过往人生的追思之情。我读到此名句时在脑子里产生的画面是：晚风劲吹飞云破，飞云深处有月来。光撒花枝映大地，花影摇曳人徘徊。朱熹的《观书有感》是一首寓意深刻、富有哲理的诗。读这样的诗可以开拓我们的形象思维能力。诗文是：半亩方塘一鉴开，天光云影共徘徊。问渠哪得清如许？为有源头活水来。在朱熹看来，读书正是使人们保持头脑清新和思维敏捷的“源头活水”。 <p>
有时我自己也尝试创作一些诗，这可以锻炼自己的形象思维能力。例如，我根据自己多年来从事概率论研究的体会, 写了一首《悟道诗》：随机非随意, 概率破玄机。无序隐有序，统计解迷离。根据自己从事科研的体会, 写了一首《春日有感》：直觉和好奇，科研原动力。想象和灵感，创新催化剂。
             灵感来源于生活做出创新成果还要有灵感，而灵感主要来源于生活。相传有人向希腊国王告发工匠在制作金王冠时用银子偷换了金子，国王叫阿基米德想办法鉴定金王冠是否掺假。于是阿基米德便冥思苦想考虑如何解决这个难题。有一天当他躺进澡盆洗澡时，发现自己身体越往下沉，盆里溢出的水就越多，而他则感到身体越轻。他突然领悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他兴奋地跳出澡盆，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”(Eureka意思是“找到了”)。阿基米德找到的不仅是鉴定金王冠是否掺假的方法，而且是重要的科学原理－－浮力定律。
            下面再举两个科学发现的故事。1934年的一天，英国物理学家史考特·罗素在河边散步，恰好有一小木船从他身边驶过，这时他观察到船头卷起一股激浪，但激浪异乎寻常地以单个波峰形式向前传播。后来经过对此现象精心研究，他提出了著名的“孤立波”理论。法国数学家勒雷（吴文俊先生的导师）经常去巴黎塞纳河河边观察河水流过桥桩时形成的各种漩涡，后来产生了灵感，于1934年写出了他那篇著名的流体动力学论文。
              我对创新的感言是：“科技创新犹如化学反应，知识是载体，直觉、想象和灵感是催化剂”。机遇是可遇不可求吗？当然，能够做出创新成果也需要有一定的机遇，然而“机遇只施惠于有准备的头脑”（巴斯德语）。但我不认可“机遇是可遇不可求”的说法。我认为在一定条件下可以人为地去创造产生机遇的环境。我的做法是：为了保持研究活力和对研究问题有新鲜感，我每隔一段时期（8年至10年）就改变一下自己的研究领域。在新的研究领域里机遇自然会多一些。在改变研究领域的过渡期内，我往往也同时研究几个相关领域。从1973年到1984年我主要从事鞅论和随机过程一般理论的研究，从1985年到1995年我主要从事白噪声分析研究，同时也研究鞅论和随机分析，从1995年到现在我主要从事金融数学研究。上世纪80年代初，正是白噪声分析理论初创时期，我于1985年在斯特拉斯堡大学高等数学研究所访问时，Meyer教授建议我关注这一新领域。由于我有较好的泛函分析基础，我抓住了这一机遇，很快进入了白噪声分析领域，并做出了一些基础性贡献。
              博观而约取，厚积而薄发
              关于如何做学问，宋朝大文学家苏轼有句名言：“博观而约取，厚积而薄发”。这里的“博观而约取”是指“在博览群书时要汲取书中的要领和精髓”，这与华罗庚先生一贯主张的“读书要先从薄到厚，再从厚到薄”的思想是相通的。这里“薄发”的原意是“不要随便发表意见”。后人把“厚积薄发”引伸为“从大量的知识或材料积累中提炼出精华部分再著书立说”。数学家维纳认为数学是一门精美的艺术。在某种意义上数学最接近于艺术中的诗歌，它的生命力在于它的简洁和优美。唐代诗人张若虚的诗在《全唐诗》中仅存两首，其中《春江花月夜》是脍炙人口的名作，使他名垂青史。电影“美丽的心灵”的主人公纳什主要靠他对非合作博弈的4篇论文（总计33页）赢得了诺贝尔经济学奖。我国著名的代数学家曾炯（1897－1940）早年留学德国，他一生中只用德文撰写发表了三篇震动世界数坛的著名论文，就是这三篇论文使得他成为20世纪世界上对近世代数发展有重大贡献的十一位代数学家之一。这些都是“厚积薄发”的例子。
             我做科研的原则是“不求著作等身，但企文章久远”。这就是说，不追求文章的数量和篇幅，而注重文章的质量，力求对有关研究领域作出实质性的贡献，发表后能得到同行关注和引用，最大愿望是某些结果能够长远留存下来。我在概率论和鞅论中有几个结果实现了后一个目标。我有几篇上世纪80年代发表的论文至今还被文献引用，有30多部国外专著引用了我的论文或著作（或列为参考文献）。我为研究生编写《测度论讲义》这部著作就遵从了“博观约取、厚积薄发”的原则。我参考了许多国内外有关测度论的专著，汲取了其中的精华部分，同时把自己在科研中感到最有用的测度论结果写进了书中。该书被许多大学用作概率统计研究生教材，至今已6次印刷，发行了15200册。给学生讲课也应遵从“厚积薄发”的原则，要讲好一门课，就需要掌握比讲解内容多得多的知识。
             培养对数学的美感 “真”与“美”是评价科学与艺术的共同准则。在何种程度上追求美也是科学研究的目的之一？庞加莱写道：“ 科学家不是因为有用才研究自然的。他研究自然是因为他从中得到快乐，他从中得到快乐是因为它美。”韦尔说：“我的劳作是努力把真和美统一起来，如果我不得不选择其中之一，我常常选择美。”例如，他曾以为他创立的引力度规论作为一个引力理论是不真的，但它是那样的美以致他不愿意放弃它。若干年过后，证明韦尔的引力度规论是完全正确的。
             希腊箴言说得好：美是真理的光辉。一个杰出的科学家凭审美直觉提出的理论常常能够被证明是真的。例如，杨振宁讲过狄拉克提出“反粒子”理论的一个故事。狄拉克1928年发表两篇短文，写下了有里程碑意义的狄拉克方程，文章发表后的几年内由于方程解产生负能现象引起争议。1931年狄拉克从数学对称美角度大胆提出“反粒子”理论来解释负能现象。这个理论当时更不为同行所接受，直到1932年秋安德森发现了电子的反粒子以后，大家才渐渐认识到反粒子理论又是物理学的另一个里程碑。
             英国著名诗人济慈（John Keats）有句名言：美就是真，真就是美。要做好数学研究，就要努力培养对数学的美感和审美能力。数学家哈代关于数学的美有如下精辟的论述：“数学家的模式，就像画家或诗人的模式一样，是充满美感的；数学的概念就像画家颜色或诗人的文字一样，一定会和谐地组合在一起。美感是首要的试金石，丑陋的数学在世界上是站不住脚的。”对一项数学成果的评价，一是看它的学术价值，二是看它的美。一个成熟的数学家可以从审美角度来判断一项成果的学术价值。数学史家克莱因认为：“进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求。” 数学的美学标准首要的是立论要简洁，尽管证明过程可以很复杂，文章可以很长。阿蒂亚－辛格指标定理、费尔马大定理和庞加莱猜想等就是美的数学的典范。
             Arnold在一篇《论数学教育》的文章中写道：“复杂的模型几乎毫无用处（除了对那些无聊的专写论文的人）。”一个对数学缺乏美感和审美能力的人是很难做出有很高学术水平的数学成果来的。法国数学家阿达玛说：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。” 如何培养自己的数学的审美观和鉴赏力？经常阅读数学大师们的经典论著是一个有效途径，这与经常欣赏书画大师们的作品可以提高对书画作品的鉴赏力是一个道理。
             结束语
             最后，要取得成功最终离不开付出艰苦的劳动。爱因斯坦曾给向他请教成功秘诀的一个青年人写了一个代数公式： A＝X＋Y＋Z    他解释说：Ａ代表你的成功，Ｘ代表你付出的劳动，Ｙ代表你对研究问题的兴趣，Ｚ表示你的谦虚和谨慎。
              思想家赫尔岑说得好：“科学不是可以不劳而获的， —诚然：
在科学上，除了汗流满面是没有其它获致方法的；热情也罢，幻想也罢，以整个身心渴望也罢，都不能代替劳动。”
              （注：此文是中国科学院数学与系统科学研究院研究员作者2008年6月19日在中科院研究生院数学学院为研究生作的报告）

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