过椭圆外一点引两条切线方程_椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解...
椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解
1椭圆外一点引椭圆的两条切线互相垂直问题巧解 问题: 已知椭圆 c: ,点 P (x 0 , y 0 )是椭圆外一点,且由点 P 引椭 ) 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 圆的两条切线互相垂直,则点 P(x 0 ,y 0 )的轨迹方程为 。 2 2 2 0 2 0 b a y x 解:设两切点为 A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ) , 则 ,即:(x 1 -x 0 ) (x 2 -x 0 )+(y 1 -y 0 ) (y 2 -y 0 )=0 0 PB pA 所以, (1) 0 ) ( ) ( 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 0 2 1 y y y y y x x x x x x 由椭圆的切线、切点弦知识可得直线 AB 的方程为: (2) 1 2 0 2 0 b y y a x x 将(2)代人椭圆 c 消去 y 得: 0 1 2 1 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 4 0 2 2 y b x y a x b x y a x b a 所以: (3) 2 0 2 2 0 2 2 0 4 2 4 2 1 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 1 , 2 y a x b y a b a x x y a x b x b a x x 将(2)代人椭圆 c 消去 x 得: 0 2 ) 1 ( 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 4 2 0 2 2 x x a y x b y a y x b y a b 所以: (4) 2 0 2 2 0 2 4 2 0 4 2 2 1 2 0 2 2 0 2 2 2 2 1 , 2 y y a x b b x b a y y y a x b y b a y o 将(3) 、 (4)代人(1)整理得: 0 ) )( ( 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 b a y a x b b a y x 所以: 1 , 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 0 b y a x b a y x 或 因为点 P 在椭圆外,所以点 P(x 0 ,y 0 ) 的轨迹方程是: 。 2 2 2 0 2 0 b a y x 巧遇高考题,广东省 2014 年高考数学压轴题 20 题 已知椭圆 c: 的一个焦点为( ) ,离心率为 ) 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 0 5 , 3 5 (1)求椭圆 c 的标准方程 (2)若动点 P(x 0 ,y 0 ) 为椭圆外 c 一点,且点 P 引椭圆 c 的两条切线互相垂直,求点 P 的 轨迹方程 解:
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