文章目录

前言
利用同余数直接得到补码
- 同余数
- 推导
- 总结
从原码到反码到补码
- 原码
- 反码
- - 反码的问题
  - 解决反码出错的式子
  - 总结
- 补码
- - 补码解决了跨越问题
  - 为什么补码等于反码+1

前言

根据冯~诺依曼提出的经典计算机体系结构框架，计算机里只有加法器而没有减法器，所以在加法器的眼里，不管是正数还是负数，都会按照无符号数的加法来加（这里的加法，就是指我们正常的加法，按位进1的那个）。

所以我们需要研究一种码，能把负数的符号位也参与进运算来。使得加法器，在遇到：

a + b时，执行加法
a - b时，转换为a + (-b)，再执行加法。注意此时，加法器是不关心这个(-b)是一个负数的，它会按照同样的加法规则进行计算。

利用同余数直接得到补码

以4位bit的数值为例，我们开始分析。

如果只以4位bit的数值的正数部分来看，我们只执行加法的话，现有加法器完全可以应付。

我们现在需要设计出一种码，可以应付减法，已知条件是：最高位bit将作为符号位，即这个bit是有具体特殊功能的。所以上表到了0111就结束了。

同余数

如果 a%m = b%m，那么说明a和b是m的同余数。顾名思义，即a和b相对于m的余数是相同的。

那么已知 a和m，怎么得到a的另一个相邻的同余数呢，可以令b = a + m。

推导

已知 3 + 5 = 7，现在让等式变成 3 + 5对于16的同余数应该也等于 7。因为4位bit的范围是0-15（因为加法器只把数看做无符号数，所以这里到15），两个数无论怎么加，肯定是在对16取余。

3 + 5 = 7
5对于16的同余数为 21，21的二进制为10101，被截断后为0101，所以还是为5。
所以3 + 5 = 3 + 21 = 3 + 5 = 8。
- 第一个=是替换为同余数，第二个=是同余数21被截断。

现在回到问题“我们现在需要设计出一种码”：

已知要求得3 - 1，但现在没有减法器
利用同余数，变换为 3 - 1 = 3 + (-1) = 3 + (-1 + 16) = 3 + 15
15对应的二进制为1111，3的二进制直接看上表是0011
那么就是0011 + 1111 = 10010，被截断后为0010。
验证成功，0010确实是2的二进制。

已经证明了被减数可以用同余数替换，现在试试如果减法的结果是负数的话，得到的负数是否也符合同余数变换：

已知要求得3 - 5
利用同余数，变换为 3 - 5 = 3 + (-5) = 3 + (-5 + 16) = 3 + 11
11对应的二进制为1011，3的二进制直接看上表是0011
那么就是0011 + 1011 = 1110。
那么1110就应该是-2的二进制。
- 利用同余数，-2的同余数可以是14，14的二进制就是1110。验证成功。

通过上面两条证明，得知 负数可以用它的同余数的二进制来替换，这个同余数特指0-15范围内的同余数（因为是4bit的数值）。

总结

负数的补码的二进制 = 负数的同余数 = 负数 + 模 （+模其实指的是加整数个模，目的是为了让负数 + 模肯定得到一个0~15的正数）
因为 负数的补码的二进制 = 负数 + 模，所以 负数的补码的二进制 = 模 - |负数| （|负数|取负数的绝对值）

从原码到反码到补码

原码

原码：是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位，‘1’表示负号，‘0’表示正号。其他位存放该数的二进制的绝对值。

如上，两个相反数之间，只是符号位不一样，但是负数出现了-0这种东西。

0000 + 1000 = 1000，即 0 + (-0) = -0，考虑到正零和负零是一样的，这个式子是对的。

0001 + 1001 = 1010，即1 + (-1) = -2，这个式子就不能成立了。

反码

正数的反码还是等于原码
负数的反码就是他的原码除符号位外，按位取反。

从上图可以看出，负数从小到大（从-7到-0），它们的二进制也是递增的（从1000到1111）。从这一点上来看，反码更加合理。

反码的问题

0001 + 1110 = 1111，即1 + (-1) = -0，现在反码最起码解决了互为相反数相加的问题。

1110（-1）+1101（-2）= 11011 = 截断后为1011（-4），现在这个式子却出了问题。

1110（-1）+0010（2）= 10000 = 截断后为0000（0），同样有问题。

解决反码出错的式子

那么如何解决反码相加最后结果却出问题的式子呢，这里直接给出答案：
让出问题的式子的结果再加1。接下来给出解释：

我们知道一个二进制0000不停地加0001的话，由于会被截断，这个二进制会不停循环0000~1111，如下图：

现在观察这个错误式子：1110（-1）+0010（2）= 10000 = 截断后为0000（0）

发现上图过程，跨越了1111这个坎（从而到达了0000），但依次到达的两个数却分别是1111(-0)、0000(0)，但我们想要的效果为：依次到达0（不管这个0是正零还是负零）、1。那么很简单，每当发现跨越了1111这个坎，我们就让结果加1，因为从1111(-0)到达0000(0)白跑了一趟。所以这个错误式子让结果加1就好了。

再观察这个错误式子：1110（-1）+1101（-2）= 11011 = 截断后为1011（-4）

同样的，也跨越了1111这个坎，但是呢，只跨越了一次，所以这个错误式子只需要加1即可。

可能同学们想问，要是跨越了两次1111怎么办：

那么很简单，让结果加2就好了，因为跨越了两次。2就是上面的红色的10。但是实际上，就算是两个最大的反码数1111相加，结果为11110，也只会发生一次跨越。除非两个以上的反码数相加，才可能跨越多次。

但是写程序总不能去判断有没有发生跨越吧（好像得写个if），但我们有一个巧妙的方法（避开使用if）：

已知char的bit长度为8bit，我们再假设一个新的数据类型为halfchar，其bit长度为4bit。
那么执行如下代码即可：

char sum = 0; halfchar a; halfchar b;//假设a和b都已经有值了
sum += a;
sum += b;//此时sum的高4bit可能变成了0001，因为产生了一次跨越
sum = (sum>>4) + (sum&0xf);

如果sum高4bit为全0，那么执行(sum>>4) + (sum&0xf)不会改变sum。
如果sum高4bit不为全0，那么执行(sum>>4) + (sum&0xf)会让sum再加1。这和之前讲的“发生一次跨越，就让结果加1”一样。

总结

两个反码数相加，如果跨越了1111这个坎，且不考虑截断的话，和的高4bit必为0001，因为只会有一次跨越。
两个反码数相加，只会跨越了一次1111这个坎，结果需要加1。多于两个的反码数相加，则才可能跨越不止一次1111这个坎。
跨越两次需要加2。以此类推。
实际代码为：sum = (sum>>4) + (sum&0xf)。

补码

正数的补码等于它的原码

负数的补码等于反码+1。(这只是一种算补码的方式)
负数的补码等于他的原码自低位向高位，尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变，左边的各位按位取反，符号位不变。

从“负数的补码等于反码+1”来看，-1到-7在加1后，没有发生溢出，所以对应关系没有发生变化。而1111再加1后就会溢出，溢出后变成10000，截断后为0000是在正数范围不能用；而1000却多余了出来，这里让它代表-8。

单独看补码，数值与其对应的二进制也是递增的。

补码解决了跨越问题

之前的反码在跨越1111这个坎时，会遇到两个0（负零和正零）。现在观察补码，发现从1110到1111再到0000，它们的数值是依次递增的，这就解决了在反码中遇到的 跨越1111 的问题。

为什么补码等于反码+1

首先有负数的反码 + |负数| = 1111（反码就是除符号位外各个位取反，然后这两个的符号位也是相反的，所以相加为全1；|负数|不用强调是什么码，因为它是一个正数，正数的各个码相同）
0001 + 负数的反码 + |负数| = 1111 + 0001（两边各加1），即0001 + 负数的反码 + |负数| = 10000，因为10000就是4bit数值的模，所以0001 + 负数的反码 + |负数| = 模
之前的利用同余数直接得到补码章节已经推导得到负数的补码的 = 模 - |负数|，那么|负数| = 模 - 负数的补码
将|负数| = 模 - 负数的补码代入到0001 + 负数的反码 + |负数| = 模，得到0001 + 负数的反码 + 模 - 负数的补码 = 模，同时去掉模，那么得到0001 + 负数的反码 = 负数的补码，证毕。

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