一、单纯形法简介

1. 是什么

单纯形法是求解线性规划问题最常用、最有效的算法之一。单纯形法最早由 George Dantzig于1947年提出，近70年来，虽有许多变形体已经开发，但却保持着同样的基本观念。

2. 求解思想

单纯形法的基本想法是从线性规划可行集的某一个顶点出发，沿着使目标函数值下降的方向寻求下一个顶点，面顶点个数是有限的，所以，只要这个线性规划有最优解，那么通过有限步选代后，必可求出最优解。
为了用选代法求出线性规划的最优解，需要解决以下三个问题：

最优解判别准则，即迭代终止的判别标准 [1] ；
换基运算，即从一个基可行解迭代出另一个基可行解的方法 [1] ；
进基列的选择，即选择合适的列以进行换基运算，可以使目标函数值有较大下降 [1] 。

3. 求解步骤

单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：

(1) 把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解 [2] 。
(2) 若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解 [2] 。
(3)若基本可行解存在，以初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解 [2] 。
(4)按步骤3进行迭代，直到对应检验数满足最优性条件(这时目标函数值不能再改善)，即得到问题的最优解 [2] 。
(5)若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代 [2] 。

用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解 [2] 。

二、手算求解

求解步骤：

化标准形

2.根据标准式，构造初始单纯形表

3.找出可行解：令XBX_BXB所在的列等于b所在的列，其他变量等于0，可得初始解为：X0={x1=0,x2=0,x3=8,x4=16,x5=12}X^0= \left\{ x_1=0,x_2=0,x_3=8,x_4=16,x_5=12 \right\}X0={x1=0,x2=0,x3=8,x4=16,x5=12}
4.求出检验数，检验数求解公式如下：
σj=cj−(cb1.cj1+cb2.cj2+......)\sigma_j=c_j-(c_{b1}.c_{j1}+c_{b2}.c_{j2}+......)σj=cj−(cb1.cj1+cb2.cj2+......)
求解后的单纯形表如下：

5.观察上表2中的σj\sigma_jσj是否都≤0\leq0≤0，若都≤0\leq0≤0，则此时求出的解即为最优解，否则就不是最优解，继续进行下一步。

6.找出上表2中σj\sigma_jσj最大的数字对应的那一列变量为进基变量xax_axa，如上表2中XaX_aXa为x2x_2x2。求出θi=bi/xai\theta_i=b_i/x_{ai}θi=bi/xai。
其中若θi≥0\theta_i\geq0θi≥0，则把θi\theta_iθi调入表中，否则不填入表中。其中若所有的θi<0\theta_i<0θi<0，即该线性规划为无解解。

7.找到上表中θi\theta_iθi最小的值对应的XBX_BXB的列即为出基变量xbx_bxb，如上表中的xbx_bxb为x5x_5x5，然后找到xax_axa和xbx_bxb交叉的数字m。

8.将xax_axa上面的数字替换xbx_bxb前面的数字，在用xax_axa替换xbx_bxb，最后清空σj\sigma_jσj行和θi\theta_iθi列。

9.将x1,x2,x3....xnx_1,x_2,x_3....x_nx1,x2,x3....xn与b列组成的矩阵进行矩阵运算，将m变为1，同列的其他元素变为0，形成一个新的单纯形表，再进行步骤3进行计算。如下表所示：

以上的求解步骤归纳都来自于b站的【猴博士爱讲课】课程，附上传送门。

三、python实现求解

上述的手写求解步骤其实可以进行程序化，代码附在这里显得很冗长，可以参考github上的代码版本-传送门。
该代码参考的是细语呢喃的博客-传送门。

参考资料

许国根，赵后随，黄智勇编著,最优化方法及其MATLAB实现,北京航空航天大学出版社,2018.07,第73页
文放怀主编,新产品开发管理体系谢宁试验设计指南,海天出版社,2011.06,第130页

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单纯形法求解线性规划

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2. 求解思想

3. 求解步骤

二、手算求解

三、python实现求解

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