Miller_Rabin测试法

简介：Miller_Rabin法是一种简便的素数测试方法，一般用于测试大数是否为素数。

Miller_Rabin测试原理：如果n是素数，且与a互质，则。(1)

证明：请参考费马小定理证明方法。

思路：依据上述原理，我们可以不断选取与 n 互质的 a ，如果上式(1)都成立的话，那么n可能是一个素数，否则一定不是一个素数。如此一来只要a取得够多，就可以保证结果的准确度。一般在32位内的任一个整数n，如果其通过以2、7、61为底的Miller_Rabin测试，那其一定是素数，反之则一定不是。

优化：通过(1)式，只能说大概率验证素性，但是仅仅如此是不够的，为了减少误判的可能，同时大大减少计算量，可以通过如下结论进行优化：

定理：如果，则必有或。

如果有一个大于2的质数 n ，令 n - 1 = 2^s * d，其中d为奇数，根据费马小定理，如果a不能被素数n整除，那么。于是可以得出：，或者，，(0<= r < s)。

于是只要找到一个a，满足或者存在一个自然数r(0 <= r < s)，使得，就可以说明n一定不是素数，反之则有可能是素数。

模板：

#include<cstdio>
typedef long long ll;ll qpow(ll a,ll b,ll m){   //快速幂算法 ll res = 1;while(b){if(b&1)    res = res*a%m;a = a*a%m;b >>= 1;}return res%m;
}bool Miller(ll x,ll n){        //Miller_Rabin测试 ll b = n-1;while(!(b&1)) b >>= 1;x = qpow(x,b,n);     //此时b为没有因子2的奇数 while(b < n-1 && x != 1 && x != n-1)x = (x*x)%n,b <<= 1; return x == n-1 || b&1 == 1;//当x=n-1，或b为奇数时返回true;
}
bool isPrime(ll n){if(n == 2 || n == 7 || n == 61)    return true;if(n == 1 || !(n&1)) return false;return Miller(2,n)&&Miller(7,n)&&Miller(61,n);
}
int main(){ll n;scanf("%lld",&n);if(isPrime(n))   puts("Yes");else puts("No");
}

转载于:https://www.cnblogs.com/long98/p/10352154.html

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