UVA 11542 Square(求增广矩阵的秩)

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给定素因子不大于500的n（n<=100）个正整数，从中选出任意个，其乘积是完全平方数，问有都少中选法。

分析：若直接枚举所有子集，有2^n种难以承受，换种思路，我们可以用Xi来表示是否选第i个数，由于每个素因子必须是偶次幂，故可对每个素因子列出一个模2的方程。然后问题就转换为求这个线性方程组的自由变量个数了（即方程个数 - 增广矩阵的秩）。

比如：n=2个数 8 =2^3 、 9 = 3^2

有两个素因子2和3，可列出两个方程：

3*X1 + 0*X2 = 0 (mod2) 等价于： X1 +0*X2 = 0

0*X1 + 2*X2 = 0 (mod2) 0*X1 + 0*X2 = 0

其中只有1个有效方程，即秩为1。

这代表什么意思呢？ X1 = 0 , 表示8一定不能选， X2不确定，表示9可以选择也可以不选。

因此答案为 2^1 - 1 = 1 （因为不允许一个都不选，所以减一）

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 110;
const int maxw = 4;
typedef unsigned int Mat[maxn][maxw];const int max_pri = 500;
bool flag[max_pri+1];
int prime[max_pri / 4];
Mat m;int table_prime(){int cnt = 0 , m = sqrt(max_pri+0.5);for(int i=2;i<=m;i++) if(!flag[i]) {for(int j=i*i ; j<=max_pri ;j+=i) flag[j] = true;}for(int i=2;i<=max_pri;i++) if(!flag[i])prime[cnt++] = i;return cnt;
}
int Rank(Mat&m ,int R,int C){ //求矩阵的秩int r=0,c=0,k,i,j,u,v;while(r<R && c<C){k = r , u=c/32 , v=c%32;for(i=r+1;i<R;i++) {if(m[i][u]&(1<<v)) {k=i; break; }}if(m[k][u]&(1<<v)){if(k!=r) for(i=0;i<maxw;i++) swap(m[k][i] ,m[r][i]);for(i=r+1;i<R;i++) if(m[i][u]&(1<<v)) {for(j=0;j<maxw;j++) m[i][j] ^=m[r][j];}r++;}c++;}return r;
}int main()
{int M = table_prime();int TT;scanf("%d",&TT);while(TT--){int n , maxp = 0 , u,v;LL x;scanf("%d",&n);memset(m,0,sizeof(m));for(int i=0;i<n;i++){u = i/32 , v = i%32;scanf("%lld" , &x);for(int k = 0;k<M;k++){while(x%prime[k] == 0) {x /= prime[k];m[k][u] ^= (1<<v);maxp = max(maxp , k+1);}}}int free = n - Rank(m,maxp,n);LL ans = (1LL << free) - 1;printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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