工业机器人——1如何描述刚体的运动状态？（台大机器人学学习笔记）

基础知识：
刚体的自由度：物体能够对坐标系进行独立运动的数目称为自由度（DOF，degree of freedom)；也就是说刚体沿任一个坐标轴移动或者绕任一个坐标系转动，我们称为一个自由度。

1）如何描述刚体在平面的运动问题呢？
对于在平面内运动的刚体，我们需要三个参数（自由度）来描述它的运动，2个参数（自由度）来描述刚体的移动（上下左右），1个参数（自由度）描述刚体的转动（旋转轴是固定的，垂直平面，描述的是角速度的大小）。

2）如何描述刚体在空间的运动问题呢？
对于一个在空间内运动的刚体来说，我们需要六个参数（自由度）来描述刚体的运动状态：用三个自由度来描述刚体沿三个坐标轴的移动状态（前后，上下，左右的移动），三个自由度来描述围绕坐标轴三个方向的转动（描述角速度）。

一般来说一个物体可以相对于坐标系，进行三个平移和三个旋转运动，即一个简单的物体有六个自由度。当两个物体间确立起某种关系时，每一物体就对另一物体失去一些自由度，这种关系也可以用两物体间由于建立连接关系而不能进行的移动或转动来表示（在机器人系统中，相邻的连杆和关节由于约束关系，只有一个自由度）。

空间中的刚体有六个自由度，运动可以简单的分为移动和转动，用什么简单的方法把这两种状态混合在一起表达？？？
答案就是：直接在刚体本身（质心）建立一个坐标系（body frame），利用坐标的信息来代替描述刚体的运动状态（移动与转动）

3）如何利用body frame 的信息去描述刚体的运动状态呢？
对于移动的部分，我们可以知道建立的坐标是跟着刚体在运动的，换句话说就是刚体运动到哪里，坐标就会运动到哪里；我们可以通过判定坐标的原点位置，就能知道刚体的移动状态（刚体和建立的body frame是一直重合的）
对于转动的部分，可以通过建立的body frame的三个主轴方向相对于世界坐标系的姿态，我们就能够得到刚体在世界坐标系下面的转动状态。

总结：利用在刚体上面建立的自身坐标轴（body frame）的原点的相对位置和各主轴的相对姿态就可以用来描述一个刚体在空间中移动和转动两个部分的运动状态。

上面描述的只是一个瞬间或者几何状态下的，我们需要描述的是一个运动的状态，如何去描述呢？

随着不同的时刻，刚体的质心会在不同的位置，我们把不同时刻的轨迹位置记录下来，如上图，我们把这个轨迹位置微分就可以得到刚体质心运动速度的状态，再次微分就可以得到刚体质心加速度的状态；转动方面也是如此，我们知道这个刚体的姿态之后，经过微分和二次微分就可以得到刚体的角速度和角加速度。

所以，我们只要知道了刚体本身的几何的状态，包含三个自由度的移动和三个自由度的转动，由这六个状态的微分，就可以知道整个刚体的运动状态

4）刚体移动部分具体的描述——坐标向量

建立一个世界坐标（world frame），然后在刚体质心位置建立一个坐标（body frame），原点和质心重合，只要追踪到body frame原点的移动状态，就能得到刚体（质心）的移动状态，如何去量化这个原点的移动状态呢？

我们把质心以一个向量的方式和world frame做一个连接，如上图绿线所示，假设为p向量。通过向量p来描述body frame的原点在world frame中的空间状态。
向量用法1：代表一个点，一个空间中绝对的位置，描述body frame 原点/质心——用来描述移动。
向量用法2：代表一个方向，例如body frame中的三个主轴就是代表的三个方向——用来描述转动。

5）刚体转动部分具体的描述——欧拉角和旋转矩阵

建立一个世界坐标（world frame），然后在刚体质心位置建立一个坐标（body frame），原点和质心重合，通过上面介绍的向量的用法二我们知道body frame上面的三个主轴可以代表一个方向，我们可以利用这三个主轴来代表刚体在空间中的姿态，如何去具体描述呢？
我们可以利用旋转矩阵（ratation natrix）的方式去描述，就是body frame相对于world frame的状态，旋转矩阵里面的每一个列（column）代表了body frame三个主轴在world frame中各自指向的方向

具体就是把body frame的三个主轴投影到world frame的三个轴向上面，看各自的分量是多少。

旋转矩阵在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果，旋转矩阵可以直接运算，它是用9个量来表达一个旋转，但实际上一次旋转只有3个自由度。因此旋转矩阵表达式是冗余的。同时，对于旋转矩阵自身也有约束，它必须是正交矩阵，且行列式为1，这些约束会使求解变得困难。

如何去投影body frame到world frame上面呢？
我们先介绍一下欧拉角：它是描述刚体姿态的一组3个角值的参量，同时需要指定三个角度转动时分别围绕的坐标轴，以及旋转的顺序，一旦确定了这些，那么这个欧拉角的描述就可以分解为三个基本的旋转，三个基本旋转的旋转矩阵为：

任何关于刚体旋转的旋转矩阵均可以由上面三个基本旋转矩阵复合而成。

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