线性代数 04.07 向量组的线性相关性习题课

n维向量⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 运算线性表示{概念判定线性相关⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 概念判定{充要条件充分条件线性无关⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 概念判定{充要条件充分条件极大无关组{概念求法 n维向量 \left \{ \begin{array}{l} 运算 \\ 线性表示 \left \{ \begin{array}{l} 概念 \\ 判定 \end{array} \right. \\ 线性相关 \left \{ \begin{array}{l} 概念 \\ 判定 \left \{ \begin{array}{l} 充要条件 \\ 充分条件 \end{array} \right. \end{array} \right. \\ 线性无关 \left \{ \begin{array}{l} 概念 \\ 判定 \left \{ \begin{array}{l} 充要条件 \\ 充分条件 \end{array} \right. \end{array} \right. \\ 极大无关组 \left \{ \begin{array}{l} 概念 \\ 求法 \end{array} \right. \end{array} \right.

向量空间{概念向量空间的基向量空间\left \{ \begin{array}{l} 概念 \\ 向量空间的基 \end{array} \right.

线性方程组{Ax=bAx=0 }⟹ 初等行变换阶梯形⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 有解判定{R(A)≠R(B)无解R(A)=R(B)有解 }解的结构总有解{R(A)=n仅有0解R(A)<n有非零解 }基础解系线性方程组 \left \{ \begin{array}{l} Ax = b \\ Ax = 0 \end{array} \right \} \stackrel {初等行变换}{\Longrightarrow} 阶梯形 \left \{ \begin{array}{l} 有解判定 \left \{ \begin{array}{l} R(A) \neq R(B)无解 \\ R(A) = R(B)有解 \end{array} \right \} 解的结构 \\ 总有解 \left \{ \begin{array}{l} R(A) = n 仅有0解 \\ R(A)

例1.设α 1 =(2,5,1,3) T ;α 2 =(10,1,5,10) T ;α 3 =(4,1,−1,1) T ;满足3(α 1 −α)+2(α 2 +α)=5(α 3 +α),求α. 例1.设\alpha_1 = (2, 5, 1, 3)^T; \alpha_2 = (10, 1, 5, 10)^T; \\ \alpha_3 = (4, 1, -1, 1)^T; \\ 满足3(\alpha_1 - \alpha) + 2(\alpha_2 + \alpha) = 5(\alpha_3 + \alpha),求\alpha.
解:由3(α 1 −α)+2(α 2 +α)=5(α 3 +α),可得α=16 (3α 1 +2α 2 −5α 3 )而3α 1 =(6,15,3,9) T ;2α 2 =(20,2,10,20) T ;5α 3 =(20,5,−5,5) T ;α=16 (6,12,18,24) T ,∴α=(1,2,3,4) T . 解:由3(\alpha_1 - \alpha) + 2(\alpha_2 + \alpha) = 5(\alpha_3 + \alpha),可得\\ \alpha = \dfrac{1}{6}(3\alpha_1 + 2\alpha_2 - 5\alpha_3) \\ 而3\alpha_1 = (6, 15, 3, 9)^T;\\ 2\alpha_2 = (20, 2, 10, 20)^T; \\ 5\alpha_3 = (20, 5, -5, 5)^T; \\ \alpha = \dfrac{1}{6}(6, 12, 18, 24)^T, \\ \therefore \alpha = (1, 2, 3, 4)^T.

例2.设三阶矩阵A=⎛ ⎝ ⎜ α2γ 2 3γ 3 ⎞ ⎠ ⎟ ,B=⎛ ⎝ ⎜ βγ 2 γ 3 ⎞ ⎠ ⎟ ,其中α,β,γ 2 ,γ 3 均为三维行向量.且|A|=18,|B|=2,求|A−B|. 例2.设三阶矩阵 A=\begin{pmatrix}\alpha \\ 2\gamma_2 \\ 3\gamma_3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} \beta \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \end{pmatrix}, \\ 其中\alpha,\beta, \gamma_2, \gamma_3均为三维行向量.且|A| = 18, |B| = 2,求|A - B|.
解:|A−B|=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ α−βγ 2 2γ 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =∣ ∣ ∣ ∣ ∣ αγ 2 2γ 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ +∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −βγ 2 2γ 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =13 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ α2γ 2 3γ 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −2∣ ∣ ∣ ∣ ∣ βγ 2 γ 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ =13 ×18−2×2=2 解:\\ |A - B| = \begin{vmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_2 \\ 2\gamma_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \alpha \\ \gamma_2 \\ 2\gamma_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} - \beta \\ \gamma_2 \\ 2\gamma_3 \end{vmatrix} \\ = \dfrac{1}{3}\begin{vmatrix} \alpha \\ 2\gamma_2 \\ 3\gamma_3 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} \beta \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \end{vmatrix} \\ = \dfrac{1}{3} \times 18 - 2 \times 2 \\ = 2

例3.设β,α 1 ,α 2 线性相关,β,α 2 ,α 3 线性无关,则正确的结论是( C ) 例3.设\beta,\alpha_1, \alpha_2线性相关,\\ \beta,\alpha_2, \alpha_3线性无关,则正确的结论是(\ \ {\color{blue}{C}}\ \ )
A.α 1 ,α 2 ,α 3 线性相关;B.α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关;C.α 1 可由β,α 2 ,α 3 线性表示;D.β可由α 1 ,α 2 线性表示 A.\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3线性相关; \quad B.\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3线性无关;\\ C.\alpha_1可由\beta,\alpha_2, \alpha_3线性表示;\quad D.\beta可由\alpha_1, \alpha_2线性表示

例4.讨论向量组α 1 =(1,1,1);α 2 =(0,2,5);α 3 =(1,3,6)的线性相关性. 例4.讨论向量组\alpha_1 = (1, 1, 1); \alpha_2 = (0, 2, 5); \alpha_3 = (1, 3, 6)的线性相关性.
设有x 1 ,x 2 ,x 3 使x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 =0(x 1 +x 3 ,x 1 +2x 2 +3x 3 ,x 1 +5x 2 +6x 3 )=(0,0,0) 设有x_1, x_2, x_3使\\ x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 = 0 \\ (x_1 + x_3, x_1 + 2x_2 + 3x_3, x_1 + 5x_2 + 6x_3) = (0, 0, 0)
亦即⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 +x 3 =0x 1 +2x 2 +3x 3 =0x 1 +5x 2 +6x 3 =0 亦即\left \{ \begin{array}{l}x_1 + x_3 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0 \\ x_1 + 5x_2 + 6x_3 = 0 \end{array} \right.
解得x 1 =x 2 =−x 3 令x 3 =−1,x 1 =x 2 =1于是有不全为零的解.使α 1 +α 2 −α 3 =0所以，α 1 ,α 2 ,α 3 线性相关. 解得x_1 = x_2 = -x_3 \\ 令 x_3 = -1, x_1 = x_2 = 1 \\ 于是有不全为零的解.使\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 = 0 \\ 所以，\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3线性相关.

例5.设α 1 ,α 2 ,α 3 是向量组T的极大无关组,且β 1 =α 1 +α 2 +α 3 ;β 2 =α 1 +α 2 +2α 3 ;β 3 =α 1 +2α 2 +3α 3 ∈T证明：β 1 ,β 2 ,β 3 也是T的极大无关组. 例5.设\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3是向量组T的极大无关组,且\\ \beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3; \\ \beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_3; \\ \beta_3 = \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \in T \\ 证明：\beta_1, \beta_2, \beta_3也是T的极大无关组.
证：首先证明向量组β 1 ,β 2 ,β 3 与α 1 ,α 2 ,α 3 等价.不妨设都是行向量的形式.记B=⎛ ⎝ ⎜ β 1 β 2 β 3  ⎞ ⎠ ⎟ ,A=⎛ ⎝ ⎜ α 1 α 2 α 3  ⎞ ⎠ ⎟ , 证：首先证明向量组\beta_1, \beta_2, \beta_3与\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3等价. \\ 不妨设都是行向量的形式.\\ 记B = \begin{pmatrix}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix}, A = \begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix},
因为⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ α 1 +α 2 +α 3 =β 1 α 1 +α 2 +2α 3 =β 2 α 1 +2α 2 +3α 3 =β 3   因为\left \{ \begin{array}{l} \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = \beta_1 \\ \alpha_1 + \alpha_2 + 2\alpha_3 = \beta_2 \\ \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 = \beta_3 \end{array} \right.
即⎛ ⎝ ⎜ 111 112 123 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ α 1 α 2 α 3  ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ β 1 β 2 β 3  ⎞ ⎠ ⎟ C=⎛ ⎝ ⎜ 111 112 123 ⎞ ⎠ ⎟ 显然C可逆,则上式为CA=B,从而A=C −1 B,所以α 1 ,α 2 ,α 3 可由β 1 ,β 2 ,β 3 线性表示,故β 1 ,β 2 ,β 3 与α 1 ,α 2 ,α 3 等价.再证β 1 ,β 2 ,β 3 线性无关,因为A=C −1 B,所以R(A)=R(C −1 B)=R(B),故β 1 ,β 2 ,β 3 线性无关,从而β 1 ,β 2 ,β 3 也是向量组T的极大无关组. 即\\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix} \\ C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \\ 显然C可逆,则上式为CA = B,从而A = C^{-1}B,\\ 所以\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3可由\beta_1, \beta_2, \beta_3线性表示,\\ 故\beta_1, \beta_2, \beta_3与\alpha_1,\alpha_2, \alpha_3等价. \\ 再证\beta_1, \beta_2, \beta_3线性无关,因为A = C^{-1}B, \\ 所以R(A) = R(C^{-1}B) = R(B),\\ 故\beta_1, \beta_2, \beta_3线性无关,\\ 从而\beta_1, \beta_2, \beta_3也是向量组T的极大无关组.

例6.设A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 10−21 011−2 1−20−2 −2110 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 求矩阵A的秩及A的列向量的极大无关组. 例6.设A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ 求矩阵A的秩及A的列向量的极大无关组.
解:对矩阵A作初等行变换A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 10−21 011−2 −2−20−2 −2110 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 011−2 −2−220 −21−32 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 −2−24−4 −21−44 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 −2−210 −21−10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0010 −4−1−10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ R(A)=3,α 1 ,α 2 ,α 3 ;α 1 ,α 2 ,α 4 为列向量组的极大无关组. 解: 对矩阵A作初等行变换\\ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & -3 \\ 0 & -2 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ R(A) = 3, \\ \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3;\alpha_1,\alpha_2, \alpha_4为列向量组的极大无关组.

例7.已知α 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1402 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2713 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,α 3 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 01−1a ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,β=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 310b4 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,问(1)a、b为何值时,β不能由α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示;(2)a、b为何值时,β能由α 1 ,α 2 ,α 3 唯一线性表示,并写出表示式;(3)a、b为何值时,β能由α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示,且表示法不唯一,并写出表示式. 例7.已知\\ \alpha_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \alpha_2 = \begin{pmatrix}2 \\ 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \alpha_3 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \\ a \end{pmatrix}, \beta = \begin{pmatrix}3 \\ 10 \\ b \\ 4 \end{pmatrix}, \\ 问(1) a、b为何值时,\beta不能由\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3线性表示; \\ (2) a、b为何值时,\beta能由\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3唯一线性表示,并写出表示式; \\ (3) a、b为何值时,\beta能由\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3线性表示,且表示法不唯一,\\ 并写出表示式.
解:讨论方程组x 1 α 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 =β(1)的解B=(α 1 ,α 2 ,α 3 ,β )=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1402 2713 01−1a 310b4 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 2−11−1 01−1a 3−2b−2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 2−100 010a−1 3−2b−20 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 2100 0−1a−10 320b−2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 解:讨论方程组\\ x_1\alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3\alpha_3 = \beta \quad (1)的解 \\ B = \begin{pmatrix} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 4 & 7 & 1 & 10 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 2 & 3 & a & 4 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & b \\ 0 & -1 & a & -2 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & b-2 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b-2 \\ \end{pmatrix}
当b≠2时,R(α 1 ,α 2 ,α 3 )≠R(α 1 ,α 2 ,α 3 ,β)(1)式无解,即β不能由α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示;b=2,a≠1时,R(α 1 ,α 2 ,α 3 )=R(α 1 ,α 2 ,α 3 ,β)=3(1)式有唯一解,此时B∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 2100 0−1a−10 3200 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0010 −1200 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 故解为x 1 =−1,x 2 =2,x 3 =0当b=2,a=1时,R(α 1 ,α 2 ,α 3 )=R(α 1 ,α 2 ,α 3 ,β)=2<3,(1)式有多解.B∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 2100 0−100 3200 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 2−100 −1200 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ x=k⎛ ⎝ ⎜ −211 ⎞ ⎠ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ −120 ⎞ ⎠ ⎟ ,k∈R于是β=(−2k−1)α 1 +(k+2)α 2 +kα 3 k为任意常数. 当b \neq 2时, R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \neq R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta) \\ (1)式无解,即\beta不能由\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3线性表示;\\ b = 2, a \neq 1时, R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta) = 3\\ (1)式有唯一解,此时 \\ B \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ 故解为x_1 = -1, x_2 = 2, x_3 = 0 \\ 当b = 2, a = 1时,\\ R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = R(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta) = 2

例8.验证α 1 =(1,−1,0) T ,α 2 =(2,1,3) T ,α 3 =(3,1,2) T 为R 3 的一个基,并把β 1 =(5,0,7) T ;β 2 =(−9,−8,−13) T 用这个基线性表示(或求β 1 ,β 2 在这组基下的坐标) 例8.验证\alpha_1 = (1, -1, 0)^T, \alpha_2 = (2, 1, 3)^T, \alpha_3 = (3, 1, 2)^T \\ 为R^3的一个基,并把\beta_1 = (5, 0, 7)^T; \beta_2=(-9, -8, -13)^T \\ 用这个基线性表示(或求\beta_1, \beta_2在这组基下的坐标)
解:要证α 1 ,α 2 ,α 3 是R 3 的一组基,只需证α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关即可,即只需证A∼E.若A经过行初等变换为E,即有p 1 ,p 2 ,⋯,p l 使p 1 p 2 ⋯p l A=E,则p 1 p 2 ⋯p l =A −1 .设β 1 =x 11 α 1 +x 21 α 2 +x 31 α 3 ,β 2 =x 12 α 1 +x 22 α 2 +x 32 α 3 ,即(β 1 ,β 2 )=(α 1 ,α 2 ,α 3 )⎛ ⎝ ⎜ x 11 x 21 x 31 x 12 x 22 x 32 ⎞ ⎠ ⎟ 记作B=AX,则A −1 B=X即p 1 p 2 ⋯p l B=X,于是有p 1 p 2 ⋯p l (A|B)= 初等行变换 (E|X)当A变成E时,α 1 ,α 2 ,α 3 为R 3 的一个基,且当A变成E时,B变成X=A −1 B,所以⎛ ⎝ ⎜ 1−10 213 312 507 −9−8−13 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 233 342 557 −9−17−13 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 230 34−2 552 −9−174 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 230 341 55−1 −9−17−2 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 230 001 89−1 −3−9−2 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 210 001 83−1 −3−3−2 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 001 23−1 3−3−2 ⎞ ⎠ ⎟ 所以A∼E,故α 1 ,α 2 ,α 3 是R 3 的一个基,且β 1 =2α 1 +3α 2 −α 3 ,β 2 =3α 1 −3α 2 −2α 3 . 解:要证\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3是R^3的一组基,\\ 只需证\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3线性无关即可,即只需证A \sim E. \\ 若A经过行初等变换为E,即有p_1,p_2, \cdots, p_l\\ 使p_1p_2 \cdots p_lA = E,则p_1p_2 \cdots p_l = A^{-1}. \\ 设\beta_1 = x_{11}\alpha_1 + x_{21} \alpha_2 + x_{31} \alpha_3, \\ \beta_2 = x_{12} \alpha_1 + x_{22} \alpha_2 + x_{32} \alpha_3, \\ 即\\ \begin{pmatrix} \beta_1 , \beta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 , \alpha_2, \alpha_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \\ x_{31} & x_{32} \\ \end{pmatrix} \\ 记作 B = AX,则 A^{-1}B = X即 \\ p_1p_2 \cdots p_l B = X, 于是有\\ p_1p_2 \cdots p_l (A | B) \stackrel{初等行变换}{=} (E | X) \\ 当A变成E时,\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3为R^3的一个基, \\ 且当A变成E时,B变成X=A^{-1}B,所以 \\ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -9 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & -8 \\ 0 & 3 & 2 & 7 & -13 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -9 \\ 0 & 3 & 4 & 5 & -17 \\ 0 & 3 & 2 & 7 & -13 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -9 \\ 0 & 3 & 4 & 5 & -17 \\ 0 & 0 & -2 & 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -9 \\ 0 & 3 & 4 & 5 & -17 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 8 & -3 \\ 0 & 3 & 0 & 9 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 8 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -2 \\ \end{pmatrix} \\ 所以A \sim E,故\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3是R^3的一个基,且\\ \beta_1 = 2\alpha_1 + 3\alpha_2 - \alpha_3, \\ \beta_2 = 3\alpha_1 - 3\alpha_2 -2 \alpha_3.

例9.设α 1 ,α 2 ,⋯,α n 是一组n维向量,已知n维单位向量坐标向量e 1 ,e 2 ,⋯,e n 能由它们线性表示,证明:α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性无关. 例9.设\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n是一组n维向量, \\ 已知n维单位向量坐标向量e_1, e_2, \cdots, e_n\\ 能由它们线性表示,证明:\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\\ 线性无关.
证:因为e 1 ,e 2 ,⋯,e n 能由α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性表示,而任意n维向量都能由n维向量组e 1 ,e 2 ,⋯,e n 线性表示,所以向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α n 能由e 1 ,e 2 ,⋯,e n 线性表示,因此它们等价.又因为e 1 ,e 2 ,⋯,e n 的秩为n,所以α 1 ,α 2 ,⋯,α n 的秩亦为n.故α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性无关. 证:因为e_1, e_2, \cdots, e_n能由\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n线性表示,\\ 而任意n维向量都能由n维向量组e_1, e_2, \cdots, e_n线性表示,\\ 所以向量组\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n能由e_1, e_2, \cdots, e_n线性表示,\\ 因此它们等价.又因为e_1, e_2, \cdots, e_n的秩为n,\\ 所以\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n的秩亦为n.\\ 故\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n线性无关.

例10.设α 1 ,α 2 ,⋯,α n 是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示. 例10.设\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n是一组n维向量,\\ 证明它们线性无关的充分必要条件是:\\ 任一n维向量都可由它们线性表示.
证:必要性:由α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性无关,对于任意n维向量α,都有α 1 ,α 2 ,⋯,α n ,α线性相关,所以任意向量α都可由向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性表示;充分性:由任意n维向量都可由向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性表示,所以单位坐标向量组e 1 ,e 2 ,⋯,e n 可由α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性表示,由例9可知α 1 ,α 2 ,⋯,α n 线性无关. 证:\\ 必要性:\\ 由\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n线性无关,\\ 对于任意n维向量\alpha,都有\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n,\alpha线性相关,\\ 所以任意向量\alpha都可由向量组\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n线性表示; \\ 充分性:\\ 由任意n维向量都可由向量组\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n线性表示,\\ 所以单位坐标向量组e_1, e_2, \cdots, e_n可由\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n线性表示,\\ 由例9可知\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n线性无关.

例11.求齐次线性方程组的基础解系. 例11.求齐次线性方程组的基础解系.
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 1 −8x 2 +10x 3 +2x 4 =02x 1 +4x 2 +5x 3 −x 4 =03x 1 +8x 2 +6x 3 −2x 4 =0  \left \{ \begin{array}{l}x_1 - 8x_2 + 10x_3 + 2x_4 = 0 \\ 2x_1 + 4x_2 + 5x_3 - x_4 = 0 \\ 3x_1 + 8x_2 + 6x_3 -2x_4 = 0 \end{array} \right.
解:对系数矩阵A作行初等变换:A=⎛ ⎝ ⎜ 123 −848 1056 2−1−2 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 −82032 10−15−24 2−5−8 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 −844 10−3−3 2−1−1 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 040 4−30 0−10 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 010 4−34 0 0−14 0 ⎞ ⎠ ⎟  解:对系数矩阵A作行初等变换:\\ A = \begin{pmatrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 2 & 4 & 5 & -1 \\ 3 & 8 & 6 & -2 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 20 & -15 & -5 \\ 0 & 32 & -24 & -8 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & -8 & 10 & 2 \\ 0 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 4 & -3 & -1 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{4} & -\frac{1}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}
同解方程组:{x 1 =−4x 3 x 2 =34 x 3 +14 x 4   同解方程组: \left \{ \begin{array}{l}x_1 = -4x_3 \\ x_2 = \frac{3}{4}x_3 + \frac{1}{4}x_4 \end{array} \right.
取x 3 ,x 4 为自由未知量,令x 3 =k 1 ,x 4 =k 2 ,(k 1 ,k 2 ∈R) 取x_3,x_4为自由未知量,令x_3 = k_1, x_4 = k_2, (k_1, k_2 \in R)
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 1 =−4k 1 x 2 =34 k 1 +14 k 2 x 3 =k 1 x 4 =k 2   \left \{ \begin{array}{l}x_1 = -4k_1 \\ x_2 = \frac{3}{4}k_1 + \frac{1}{4}k_2 \\ x_3 = k_1 \\ x_4 = k_2 \end{array} \right.
矩阵表示⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 x 3 x 4  ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =k 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −434 10 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ +k 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 014 01 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,(k 1 ,k 2 ∈R)得齐次线性方程组的基础解系为:ξ 1 =(−4,34 ,1,0) T ,ξ 2 =(0,14 ,0,1) T  矩阵表示 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = k_1\begin{pmatrix} -4 \\ \frac{3}{4} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, (k_1, k_2 \in R) \\ 得齐次线性方程组的基础解系为: \xi_1 = (-4, \dfrac{3}{4}, 1, 0)^T, \xi_2 = (0, \dfrac{1}{4}, 0, 1)^T

例12.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η 1 ,η 2 ,η 3 是它的三个解向量,且η 1 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2345 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,η 2 +η 3 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1234 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,求该方程组的通解. 例12.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,\\ 已知\eta_1, \eta_2, \eta_3是它的三个解向量,且\\ \eta_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \eta_2 + \eta_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, \\ 求该方程组的通解.
解:由系数矩阵的秩为3,所以基础解系只含有一个解向量,又因为两个非齐次线性方程组的解的差为对应齐次线性方程组的解;两个非其次线性方程组解的和的12 仍然是它的解,所以η 2 +η 3 2 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 12 132 2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 为非齐次线性方程组的解,而η 1 为一个特解,所以ξ=η 1 −η 2 +η 3 2 =(32 2 52 3 ) T 为对应齐次线性方程组的一个基础解系,非齐次线性方程组的通解为X=kξ+η 1 =k⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 32 252 3 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ +⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 2345 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ,(k∈R) 解: \\ 由系数矩阵的秩为3,所以基础解系只含有一个解向量,\\ 又因为两个非齐次线性方程组的解的差为对应齐次线性\\ 方程组的解;两个非其次线性方程组解的和的\dfrac{1}{2}仍然是\\ 它的解,所以\\ \dfrac{\eta_2 + \eta_3}{2} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} \\ 1 \\ \dfrac{3}{2} \\ 2 \end{pmatrix} \\ 为非齐次线性方程组的解,而\eta_1为一个特解, 所以 \\ \xi = \eta_1 - \dfrac{\eta_2 + \eta_3}{2} = \begin{pmatrix}\dfrac{3}{2} & 2 & \dfrac{5}{2} & 3 \end{pmatrix}^T \\ 为对应齐次线性方程组的一个基础解系,\\ 非齐次线性方程组的通解为 \\ X = k\xi + \eta_1 \\ =k\begin{pmatrix}\frac{3}{2} \\ 2 \\ \frac{5}{2} \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, (k \in R)

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